Производная (x^2+1)/(x^3-x)

()'

↑ Функция f () ? - производная -го порядка

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
 2    
x  + 1
------
 3    
x  - x
$$\frac{x^{2} + 1}{x^{3} - x}$$
Подробное решение
[TeX]
  1. Применим правило производной частного:

    и .

    Чтобы найти :

    1. дифференцируем почленно:

      1. Производная постоянной равна нулю.

      2. В силу правила, применим: получим

      В результате:

    Чтобы найти :

    1. дифференцируем почленно:

      1. В силу правила, применим: получим

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

        1. В силу правила, применим: получим

        Таким образом, в результате:

      В результате:

    Теперь применим правило производной деления:

  2. Теперь упростим:


Ответ:

График
Первая производная
[TeX]
[pretty]
[text]
         /       2\ / 2    \
 2*x     \1 - 3*x /*\x  + 1/
------ + -------------------
 3                    2     
x  - x        / 3    \      
              \x  - x/      
$$\frac{2 x}{x^{3} - x} + \frac{1}{\left(x^{3} - x\right)^{2}} \left(- 3 x^{2} + 1\right) \left(x^{2} + 1\right)$$
Вторая производная
[TeX]
[pretty]
[text]
  /                                            2         \
  |      /     2\     /        2\   /        2\  /     2\|
  |    3*\1 + x /   2*\-1 + 3*x /   \-1 + 3*x / *\1 + x /|
2*|1 - ---------- - ------------- + ---------------------|
  |           2              2                      2    |
  |     -1 + x         -1 + x            2 /      2\     |
  \                                     x *\-1 + x /     /
----------------------------------------------------------
                         /      2\                        
                       x*\-1 + x /                        
$$\frac{1}{x \left(x^{2} - 1\right)} \left(2 - \frac{6 x^{2} + 6}{x^{2} - 1} - \frac{12 x^{2} - 4}{x^{2} - 1} + \frac{2 \left(x^{2} + 1\right) \left(3 x^{2} - 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right)$$
Третья производная
[TeX]
[pretty]
[text]
  /                                       2              3                                  \
  |          2           2     /        2\    /        2\  /     2\     /     2\ /        2\|
  |     1 + x    -1 + 3*x    2*\-1 + 3*x /    \-1 + 3*x / *\1 + x /   6*\1 + x /*\-1 + 3*x /|
6*|-6 - ------ - --------- + -------------- - --------------------- + ----------------------|
  |        2          2        2 /      2\                    2             2 /      2\     |
  |       x          x        x *\-1 + x /         4 /      2\             x *\-1 + x /     |
  \                                               x *\-1 + x /                              /
---------------------------------------------------------------------------------------------
                                                   2                                         
                                          /      2\                                          
                                          \-1 + x /                                          
$$\frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} \left(-36 - \frac{1}{x^{2}} \left(6 x^{2} + 6\right) - \frac{1}{x^{2}} \left(18 x^{2} - 6\right) + \frac{36 \left(x^{2} + 1\right) \left(3 x^{2} - 1\right)}{x^{2} \left(x^{2} - 1\right)} + \frac{12 \left(3 x^{2} - 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x^{2} - 1\right)} - \frac{6 \left(x^{2} + 1\right) \left(3 x^{2} - 1\right)^{3}}{x^{4} \left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right)$$