Производная (x^2+1)/(x^3-x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
 2    
x  + 1
------
 3    
x  - x
x2+1x3x\frac{x^{2} + 1}{x^{3} - x}
Подробное решение
  1. Применим правило производной частного:

    ddx(f(x)g(x))=1g2(x)(f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x))\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)

    f(x)=x2+1f{\left (x \right )} = x^{2} + 1 и g(x)=x3xg{\left (x \right )} = x^{3} - x.

    Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

    1. дифференцируем x2+1x^{2} + 1 почленно:

      1. Производная постоянной 11 равна нулю.

      2. В силу правила, применим: x2x^{2} получим 2x2 x

      В результате: 2x2 x

    Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

    1. дифференцируем x3xx^{3} - x почленно:

      1. В силу правила, применим: x3x^{3} получим 3x23 x^{2}

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

        1. В силу правила, применим: xx получим 11

        Таким образом, в результате: 1-1

      В результате: 3x213 x^{2} - 1

    Теперь применим правило производной деления:

    1(x3x)2(2x(x3x)(x2+1)(3x21))\frac{1}{\left(x^{3} - x\right)^{2}} \left(2 x \left(x^{3} - x\right) - \left(x^{2} + 1\right) \left(3 x^{2} - 1\right)\right)

  2. Теперь упростим:

    x44x2+1x2(x42x2+1)\frac{- x^{4} - 4 x^{2} + 1}{x^{2} \left(x^{4} - 2 x^{2} + 1\right)}


Ответ:

x44x2+1x2(x42x2+1)\frac{- x^{4} - 4 x^{2} + 1}{x^{2} \left(x^{4} - 2 x^{2} + 1\right)}

График
02468-8-6-4-2-1010-250250
Первая производная [src]
         /       2\ / 2    \
 2*x     \1 - 3*x /*\x  + 1/
------ + -------------------
 3                    2     
x  - x        / 3    \      
              \x  - x/      
2xx3x+1(x3x)2(3x2+1)(x2+1)\frac{2 x}{x^{3} - x} + \frac{1}{\left(x^{3} - x\right)^{2}} \left(- 3 x^{2} + 1\right) \left(x^{2} + 1\right)
Вторая производная [src]
  /                                            2         \
  |      /     2\     /        2\   /        2\  /     2\|
  |    3*\1 + x /   2*\-1 + 3*x /   \-1 + 3*x / *\1 + x /|
2*|1 - ---------- - ------------- + ---------------------|
  |           2              2                      2    |
  |     -1 + x         -1 + x            2 /      2\     |
  \                                     x *\-1 + x /     /
----------------------------------------------------------
                         /      2\                        
                       x*\-1 + x /                        
1x(x21)(26x2+6x2112x24x21+2(x2+1)(3x21)2x2(x21)2)\frac{1}{x \left(x^{2} - 1\right)} \left(2 - \frac{6 x^{2} + 6}{x^{2} - 1} - \frac{12 x^{2} - 4}{x^{2} - 1} + \frac{2 \left(x^{2} + 1\right) \left(3 x^{2} - 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right)
Третья производная [src]
  /                                       2              3                                  \
  |          2           2     /        2\    /        2\  /     2\     /     2\ /        2\|
  |     1 + x    -1 + 3*x    2*\-1 + 3*x /    \-1 + 3*x / *\1 + x /   6*\1 + x /*\-1 + 3*x /|
6*|-6 - ------ - --------- + -------------- - --------------------- + ----------------------|
  |        2          2        2 /      2\                    2             2 /      2\     |
  |       x          x        x *\-1 + x /         4 /      2\             x *\-1 + x /     |
  \                                               x *\-1 + x /                              /
---------------------------------------------------------------------------------------------
                                                   2                                         
                                          /      2\                                          
                                          \-1 + x /                                          
1(x21)2(361x2(6x2+6)1x2(18x26)+36(x2+1)(3x21)x2(x21)+12(3x21)2x2(x21)6(x2+1)(3x21)3x4(x21)2)\frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} \left(-36 - \frac{1}{x^{2}} \left(6 x^{2} + 6\right) - \frac{1}{x^{2}} \left(18 x^{2} - 6\right) + \frac{36 \left(x^{2} + 1\right) \left(3 x^{2} - 1\right)}{x^{2} \left(x^{2} - 1\right)} + \frac{12 \left(3 x^{2} - 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x^{2} - 1\right)} - \frac{6 \left(x^{2} + 1\right) \left(3 x^{2} - 1\right)^{3}}{x^{4} \left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right)