Производная (x^2+1)/(x^3-x)

Вы ввели

 2    
x  + 1
------
 3    
x  - x

$$\frac{x^{2} + 1}{x^{3} - x}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x^{2} + 1$ и $g{\left (x \right )} = x^{3} - x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x^{2} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      В результате: $2 x$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x^{3} - x$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $-1$

      В результате: $3 x^{2} - 1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(x^{3} - x\right)^{2}} \left(2 x \left(x^{3} - x\right) - \left(x^{2} + 1\right) \left(3 x^{2} - 1\right)\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{- x^{4} - 4 x^{2} + 1}{x^{2} \left(x^{4} - 2 x^{2} + 1\right)}$

---

Ответ:

$\frac{- x^{4} - 4 x^{2} + 1}{x^{2} \left(x^{4} - 2 x^{2} + 1\right)}$

Первая производная

         /       2\ / 2    \
 2*x     \1 - 3*x /*\x  + 1/
------ + -------------------
 3                    2     
x  - x        / 3    \      
              \x  - x/      

$$\frac{2 x}{x^{3} - x} + \frac{1}{\left(x^{3} - x\right)^{2}} \left(- 3 x^{2} + 1\right) \left(x^{2} + 1\right)$$

Вторая производная

  /                                            2         \
  |      /     2\     /        2\   /        2\  /     2\|
  |    3*\1 + x /   2*\-1 + 3*x /   \-1 + 3*x / *\1 + x /|
2*|1 - ---------- - ------------- + ---------------------|
  |           2              2                      2    |
  |     -1 + x         -1 + x            2 /      2\     |
  \                                     x *\-1 + x /     /
----------------------------------------------------------
                         /      2\                        
                       x*\-1 + x /                        

$$\frac{1}{x \left(x^{2} - 1\right)} \left(2 - \frac{6 x^{2} + 6}{x^{2} - 1} - \frac{12 x^{2} - 4}{x^{2} - 1} + \frac{2 \left(x^{2} + 1\right) \left(3 x^{2} - 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right)$$

Третья производная

  /                                       2              3                                  \
  |          2           2     /        2\    /        2\  /     2\     /     2\ /        2\|
  |     1 + x    -1 + 3*x    2*\-1 + 3*x /    \-1 + 3*x / *\1 + x /   6*\1 + x /*\-1 + 3*x /|
6*|-6 - ------ - --------- + -------------- - --------------------- + ----------------------|
  |        2          2        2 /      2\                    2             2 /      2\     |
  |       x          x        x *\-1 + x /         4 /      2\             x *\-1 + x /     |
  \                                               x *\-1 + x /                              /
---------------------------------------------------------------------------------------------
                                                   2                                         
                                          /      2\                                          
                                          \-1 + x /                                          

$$\frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} \left(-36 - \frac{1}{x^{2}} \left(6 x^{2} + 6\right) - \frac{1}{x^{2}} \left(18 x^{2} - 6\right) + \frac{36 \left(x^{2} + 1\right) \left(3 x^{2} - 1\right)}{x^{2} \left(x^{2} - 1\right)} + \frac{12 \left(3 x^{2} - 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x^{2} - 1\right)} - \frac{6 \left(x^{2} + 1\right) \left(3 x^{2} - 1\right)^{3}}{x^{4} \left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right)$$