Производная sqrt(x^2+2*x-3)+5

   ______________    
  /  2               
\/  x  + 2*x - 3  + 5

1. дифференцируем $\sqrt{x^{2} + 2 x - 3} + 5$ почленно:

   1. Заменим $u = x^{2} + 2 x - 3$.

   2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x^{2} + 2 x - 3\right)$:

      1. дифференцируем $x^{2} + 2 x - 3$ почленно:

         1. дифференцируем $x^{2} + 2 x$ почленно:

            1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

            2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $2$

            В результате: $2 x + 2$

         2. Производная постоянной $-3$ равна нулю.

         В результате: $2 x + 2$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{2 x + 2}{2 \sqrt{x^{2} + 2 x - 3}}$

   4. Производная постоянной $5$ равна нулю.

   В результате: $\frac{2 x + 2}{2 \sqrt{x^{2} + 2 x - 3}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 3}}$

Ответ:

$\frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 3}}$

      1 + x      
-----------------
   ______________
  /  2           
\/  x  + 2*x - 3 

              2   
       (1 + x)    
1 - ------------- 
          2       
    -3 + x  + 2*x 
------------------
   _______________
  /       2       
\/  -3 + x  + 2*x 

          /               2  \
          |        (1 + x)   |
3*(1 + x)*|-1 + -------------|
          |           2      |
          \     -3 + x  + 2*x/
------------------------------
                     3/2      
      /      2      \         
      \-3 + x  + 2*x/