Производная sqrt(1+sin(4*x))-sqrt(1-sin(4*x))

  ______________     ______________
\/ 1 + sin(4*x)  - \/ 1 - sin(4*x) 

1. дифференцируем $- \sqrt{- \sin{\left (4 x \right )} + 1} + \sqrt{\sin{\left (4 x \right )} + 1}$ почленно:

   1. Заменим $u = \sin{\left (4 x \right )} + 1$.

   2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\sin{\left (4 x \right )} + 1\right)$:

      1. дифференцируем $\sin{\left (4 x \right )} + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. Заменим $u = 4 x$.

         3. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

         4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(4 x\right)$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $4$

            В результате последовательности правил:

            $4 \cos{\left (4 x \right )}$

         В результате: $4 \cos{\left (4 x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{2 \cos{\left (4 x \right )}}{\sqrt{\sin{\left (4 x \right )} + 1}}$

   4. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = - \sin{\left (4 x \right )} + 1$.

      2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- \sin{\left (4 x \right )} + 1\right)$:

         1. дифференцируем $- \sin{\left (4 x \right )} + 1$ почленно:

            1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

            2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. Заменим $u = 4 x$.

               2. Производная синуса есть косинус:

                  $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

               3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(4 x\right)$:

                  1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                     1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                     Таким образом, в результате: $4$

                  В результате последовательности правил:

                  $4 \cos{\left (4 x \right )}$

               Таким образом, в результате: $- 4 \cos{\left (4 x \right )}$

            В результате: $- 4 \cos{\left (4 x \right )}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{2 \cos{\left (4 x \right )}}{\sqrt{- \sin{\left (4 x \right )} + 1}}$

      Таким образом, в результате: $\frac{2 \cos{\left (4 x \right )}}{\sqrt{- \sin{\left (4 x \right )} + 1}}$

   В результате: $\frac{2 \cos{\left (4 x \right )}}{\sqrt{\sin{\left (4 x \right )} + 1}} + \frac{2 \cos{\left (4 x \right )}}{\sqrt{- \sin{\left (4 x \right )} + 1}}$

Ответ:

$\frac{2 \cos{\left (4 x \right )}}{\sqrt{\sin{\left (4 x \right )} + 1}} + \frac{2 \cos{\left (4 x \right )}}{\sqrt{- \sin{\left (4 x \right )} + 1}}$

   2*cos(4*x)         2*cos(4*x)   
---------------- + ----------------
  ______________     ______________
\/ 1 - sin(4*x)    \/ 1 + sin(4*x) 

  /       2                   2                                               \
  |    cos (4*x)           cos (4*x)          2*sin(4*x)         2*sin(4*x)   |
4*|----------------- - ----------------- - ---------------- - ----------------|
  |              3/2                 3/2     ______________     ______________|
  \(1 - sin(4*x))      (1 + sin(4*x))      \/ 1 - sin(4*x)    \/ 1 + sin(4*x) /

  /                                                                    2                   2                            \         
  |         4                  4               6*sin(4*x)         3*cos (4*x)         3*cos (4*x)          6*sin(4*x)   |         
8*|- ---------------- - ---------------- - ----------------- + ----------------- + ----------------- + -----------------|*cos(4*x)
  |    ______________     ______________                 3/2                 5/2                 5/2                 3/2|         
  \  \/ 1 - sin(4*x)    \/ 1 + sin(4*x)    (1 - sin(4*x))      (1 - sin(4*x))      (1 + sin(4*x))      (1 + sin(4*x))   /