Производная sqrt(1+sin(4*x))-sqrt(1-sin(4*x))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
  ______________     ______________
\/ 1 + sin(4*x)  - \/ 1 - sin(4*x) 
sin(4x)+1+sin(4x)+1- \sqrt{- \sin{\left (4 x \right )} + 1} + \sqrt{\sin{\left (4 x \right )} + 1}
Подробное решение
  1. дифференцируем sin(4x)+1+sin(4x)+1- \sqrt{- \sin{\left (4 x \right )} + 1} + \sqrt{\sin{\left (4 x \right )} + 1} почленно:

    1. Заменим u=sin(4x)+1u = \sin{\left (4 x \right )} + 1.

    2. В силу правила, применим: u\sqrt{u} получим 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx(sin(4x)+1)\frac{d}{d x}\left(\sin{\left (4 x \right )} + 1\right):

      1. дифференцируем sin(4x)+1\sin{\left (4 x \right )} + 1 почленно:

        1. Производная постоянной 11 равна нулю.

        2. Заменим u=4xu = 4 x.

        3. Производная синуса есть косинус:

          ddusin(u)=cos(u)\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}

        4. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx(4x)\frac{d}{d x}\left(4 x\right):

          1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: xx получим 11

            Таким образом, в результате: 44

          В результате последовательности правил:

          4cos(4x)4 \cos{\left (4 x \right )}

        В результате: 4cos(4x)4 \cos{\left (4 x \right )}

      В результате последовательности правил:

      2cos(4x)sin(4x)+1\frac{2 \cos{\left (4 x \right )}}{\sqrt{\sin{\left (4 x \right )} + 1}}

    4. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим u=sin(4x)+1u = - \sin{\left (4 x \right )} + 1.

      2. В силу правила, применим: u\sqrt{u} получим 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx(sin(4x)+1)\frac{d}{d x}\left(- \sin{\left (4 x \right )} + 1\right):

        1. дифференцируем sin(4x)+1- \sin{\left (4 x \right )} + 1 почленно:

          1. Производная постоянной 11 равна нулю.

          2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. Заменим u=4xu = 4 x.

            2. Производная синуса есть косинус:

              ddusin(u)=cos(u)\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}

            3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx(4x)\frac{d}{d x}\left(4 x\right):

              1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                1. В силу правила, применим: xx получим 11

                Таким образом, в результате: 44

              В результате последовательности правил:

              4cos(4x)4 \cos{\left (4 x \right )}

            Таким образом, в результате: 4cos(4x)- 4 \cos{\left (4 x \right )}

          В результате: 4cos(4x)- 4 \cos{\left (4 x \right )}

        В результате последовательности правил:

        2cos(4x)sin(4x)+1- \frac{2 \cos{\left (4 x \right )}}{\sqrt{- \sin{\left (4 x \right )} + 1}}

      Таким образом, в результате: 2cos(4x)sin(4x)+1\frac{2 \cos{\left (4 x \right )}}{\sqrt{- \sin{\left (4 x \right )} + 1}}

    В результате: 2cos(4x)sin(4x)+1+2cos(4x)sin(4x)+1\frac{2 \cos{\left (4 x \right )}}{\sqrt{\sin{\left (4 x \right )} + 1}} + \frac{2 \cos{\left (4 x \right )}}{\sqrt{- \sin{\left (4 x \right )} + 1}}


Ответ:

2cos(4x)sin(4x)+1+2cos(4x)sin(4x)+1\frac{2 \cos{\left (4 x \right )}}{\sqrt{\sin{\left (4 x \right )} + 1}} + \frac{2 \cos{\left (4 x \right )}}{\sqrt{- \sin{\left (4 x \right )} + 1}}

График
02468-8-6-4-2-1010-1010
Первая производная [src]
   2*cos(4*x)         2*cos(4*x)   
---------------- + ----------------
  ______________     ______________
\/ 1 - sin(4*x)    \/ 1 + sin(4*x) 
2cos(4x)sin(4x)+1+2cos(4x)sin(4x)+1\frac{2 \cos{\left (4 x \right )}}{\sqrt{\sin{\left (4 x \right )} + 1}} + \frac{2 \cos{\left (4 x \right )}}{\sqrt{- \sin{\left (4 x \right )} + 1}}
Вторая производная [src]
  /       2                   2                                               \
  |    cos (4*x)           cos (4*x)          2*sin(4*x)         2*sin(4*x)   |
4*|----------------- - ----------------- - ---------------- - ----------------|
  |              3/2                 3/2     ______________     ______________|
  \(1 - sin(4*x))      (1 + sin(4*x))      \/ 1 - sin(4*x)    \/ 1 + sin(4*x) /
4(2sin(4x)sin(4x)+1cos2(4x)(sin(4x)+1)322sin(4x)sin(4x)+1+cos2(4x)(sin(4x)+1)32)4 \left(- \frac{2 \sin{\left (4 x \right )}}{\sqrt{\sin{\left (4 x \right )} + 1}} - \frac{\cos^{2}{\left (4 x \right )}}{\left(\sin{\left (4 x \right )} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{2 \sin{\left (4 x \right )}}{\sqrt{- \sin{\left (4 x \right )} + 1}} + \frac{\cos^{2}{\left (4 x \right )}}{\left(- \sin{\left (4 x \right )} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right)
Третья производная [src]
  /                                                                    2                   2                            \         
  |         4                  4               6*sin(4*x)         3*cos (4*x)         3*cos (4*x)          6*sin(4*x)   |         
8*|- ---------------- - ---------------- - ----------------- + ----------------- + ----------------- + -----------------|*cos(4*x)
  |    ______________     ______________                 3/2                 5/2                 5/2                 3/2|         
  \  \/ 1 - sin(4*x)    \/ 1 + sin(4*x)    (1 - sin(4*x))      (1 - sin(4*x))      (1 + sin(4*x))      (1 + sin(4*x))   /         
8(4sin(4x)+1+6sin(4x)(sin(4x)+1)32+3cos2(4x)(sin(4x)+1)524sin(4x)+16sin(4x)(sin(4x)+1)32+3cos2(4x)(sin(4x)+1)52)cos(4x)8 \left(- \frac{4}{\sqrt{\sin{\left (4 x \right )} + 1}} + \frac{6 \sin{\left (4 x \right )}}{\left(\sin{\left (4 x \right )} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{3 \cos^{2}{\left (4 x \right )}}{\left(\sin{\left (4 x \right )} + 1\right)^{\frac{5}{2}}} - \frac{4}{\sqrt{- \sin{\left (4 x \right )} + 1}} - \frac{6 \sin{\left (4 x \right )}}{\left(- \sin{\left (4 x \right )} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{3 \cos^{2}{\left (4 x \right )}}{\left(- \sin{\left (4 x \right )} + 1\right)^{\frac{5}{2}}}\right) \cos{\left (4 x \right )}