Производная 4*tan(k^2*x+pi/3)

Вы ввели

     / 2     pi\
4*tan|k *x + --|
     \       3 /

$$4 \tan{\left (k^{2} x + \frac{\pi}{3} \right )}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = k^{2} x + \frac{\pi}{3}$.

      2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial x}\left(k^{2} x + \frac{\pi}{3}\right)$:

         1. дифференцируем $k^{2} x + \frac{\pi}{3}$ почленно:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $k^{2}$

            2. Производная постоянной $\frac{\pi}{3}$ равна нулю.

            В результате: $k^{2}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{k^{2}}{\cos^{2}{\left (k^{2} x + \frac{\pi}{3} \right )}}$

   Таким образом, в результате: $\frac{1}{\cos^{2}{\left (k^{2} x + \frac{\pi}{3} \right )}} \left(4 k^{2} \sin^{2}{\left (k^{2} x + \frac{\pi}{3} \right )} + 4 k^{2} \cos^{2}{\left (k^{2} x + \frac{\pi}{3} \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{4 k^{2}}{\cos^{2}{\left (k^{2} x + \frac{\pi}{3} \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{4 k^{2}}{\cos^{2}{\left (k^{2} x + \frac{\pi}{3} \right )}}$

Первая производная

   2 /       2/ 2     pi\\
4*k *|1 + tan |k *x + --||
     \        \       3 //

$$4 k^{2} \left(\tan^{2}{\left (k^{2} x + \frac{\pi}{3} \right )} + 1\right)$$

Вторая производная

   4 /       2/pi      2\\    /pi      2\
8*k *|1 + tan |-- + x*k ||*tan|-- + x*k |
     \        \3        //    \3        /

$$8 k^{4} \left(\tan^{2}{\left (k^{2} x + \frac{\pi}{3} \right )} + 1\right) \tan{\left (k^{2} x + \frac{\pi}{3} \right )}$$

Третья производная

   6 /       2/pi      2\\ /         2/pi      2\\
8*k *|1 + tan |-- + x*k ||*|1 + 3*tan |-- + x*k ||
     \        \3        // \          \3        //

$$8 k^{6} \left(\tan^{2}{\left (k^{2} x + \frac{\pi}{3} \right )} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left (k^{2} x + \frac{\pi}{3} \right )} + 1\right)$$