Производная e^(2*x)/sin(x)^2

   2*x 
  E    
-------
   2   
sin (x)

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = e^{2 x}$ и $g{\left (x \right )} = \sin^{2}{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = 2 x$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(2 x\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $2$

      В результате последовательности правил:

      $2 e^{2 x}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\sin^{4}{\left (x \right )}} \left(2 e^{2 x} \sin^{2}{\left (x \right )} - 2 e^{2 x} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{2 \sqrt{2} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}} e^{2 x}$

Ответ:

$- \frac{2 \sqrt{2} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}} e^{2 x}$

    2*x             2*x
 2*e      2*cos(x)*e   
------- - -------------
   2            3      
sin (x)      sin (x)   

  /                    2   \     
  |    4*cos(x)   3*cos (x)|  2*x
2*|3 - -------- + ---------|*e   
  |     sin(x)        2    |     
  \                sin (x) /     
---------------------------------
                2                
             sin (x)             

  /                     3           2   \     
  |    10*cos(x)   6*cos (x)   9*cos (x)|  2*x
4*|5 - --------- - --------- + ---------|*e   
  |      sin(x)        3           2    |     
  \                 sin (x)     sin (x) /     
----------------------------------------------
                      2                       
                   sin (x)