Производная e^(2*x)/sin(x)^2

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
   2*x 
  E    
-------
   2   
sin (x)
e2xsin2(x)\frac{e^{2 x}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}
Подробное решение
  1. Применим правило производной частного:

    ddx(f(x)g(x))=1g2(x)(f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x))\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)

    f(x)=e2xf{\left (x \right )} = e^{2 x} и g(x)=sin2(x)g{\left (x \right )} = \sin^{2}{\left (x \right )}.

    Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

    1. Заменим u=2xu = 2 x.

    2. Производная eue^{u} само оно.

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx(2x)\frac{d}{d x}\left(2 x\right):

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

        1. В силу правила, применим: xx получим 11

        Таким образом, в результате: 22

      В результате последовательности правил:

      2e2x2 e^{2 x}

    Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

    1. Заменим u=sin(x)u = \sin{\left (x \right )}.

    2. В силу правила, применим: u2u^{2} получим 2u2 u

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxsin(x)\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}:

      1. Производная синуса есть косинус:

        ddxsin(x)=cos(x)\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}

      В результате последовательности правил:

      2sin(x)cos(x)2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}

    Теперь применим правило производной деления:

    1sin4(x)(2e2xsin2(x)2e2xsin(x)cos(x))\frac{1}{\sin^{4}{\left (x \right )}} \left(2 e^{2 x} \sin^{2}{\left (x \right )} - 2 e^{2 x} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}\right)

  2. Теперь упростим:

    22cos(x+π4)sin3(x)e2x- \frac{2 \sqrt{2} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}} e^{2 x}


Ответ:

22cos(x+π4)sin3(x)e2x- \frac{2 \sqrt{2} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}} e^{2 x}

График
02468-8-6-4-2-101020000000000000-10000000000000
Первая производная [src]
    2*x             2*x
 2*e      2*cos(x)*e   
------- - -------------
   2            3      
sin (x)      sin (x)   
2e2xsin2(x)2e2xcos(x)sin3(x)\frac{2 e^{2 x}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} - \frac{2 e^{2 x} \cos{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}}
Вторая производная [src]
  /                    2   \     
  |    4*cos(x)   3*cos (x)|  2*x
2*|3 - -------- + ---------|*e   
  |     sin(x)        2    |     
  \                sin (x) /     
---------------------------------
                2                
             sin (x)             
2e2xsin2(x)(34cos(x)sin(x)+3cos2(x)sin2(x))\frac{2 e^{2 x}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(3 - \frac{4 \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} + \frac{3 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)
Третья производная [src]
  /                     3           2   \     
  |    10*cos(x)   6*cos (x)   9*cos (x)|  2*x
4*|5 - --------- - --------- + ---------|*e   
  |      sin(x)        3           2    |     
  \                 sin (x)     sin (x) /     
----------------------------------------------
                      2                       
                   sin (x)                    
4e2xsin2(x)(510cos(x)sin(x)+9cos2(x)sin2(x)6cos3(x)sin3(x))\frac{4 e^{2 x}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(5 - \frac{10 \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} + \frac{9 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} - \frac{6 \cos^{3}{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}}\right)
График
Производная e^(2*x)/sin(x)^2 /media/krcore-image-pods/5/ca/1a178e865d95cdbf590f33a254dd3.png