Производная (-3*e^(6*x))/(e^(3*x)+1)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
    6*x 
-3*E    
--------
 3*x    
E    + 1
13e6xe3x+1\frac{-1 \cdot 3 e^{6 x}}{e^{3 x} + 1}
Подробное решение
  1. Применим правило производной частного:

    ddx(f(x)g(x))=1g2(x)(f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x))\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)

    f(x)=3e6xf{\left (x \right )} = - 3 e^{6 x} и g(x)=e3x+1g{\left (x \right )} = e^{3 x} + 1.

    Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

    1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим u=6xu = 6 x.

      2. Производная eue^{u} само оно.

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx(6x)\frac{d}{d x}\left(6 x\right):

        1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

          1. В силу правила, применим: xx получим 11

          Таким образом, в результате: 66

        В результате последовательности правил:

        6e6x6 e^{6 x}

      Таким образом, в результате: 18e6x- 18 e^{6 x}

    Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

    1. дифференцируем e3x+1e^{3 x} + 1 почленно:

      1. Производная постоянной 11 равна нулю.

      2. Заменим u=3xu = 3 x.

      3. Производная eue^{u} само оно.

      4. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx(3x)\frac{d}{d x}\left(3 x\right):

        1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

          1. В силу правила, применим: xx получим 11

          Таким образом, в результате: 33

        В результате последовательности правил:

        3e3x3 e^{3 x}

      В результате: 3e3x3 e^{3 x}

    Теперь применим правило производной деления:

    1(e3x+1)2(18(e3x+1)e6x+9e9x)\frac{1}{\left(e^{3 x} + 1\right)^{2}} \left(- 18 \left(e^{3 x} + 1\right) e^{6 x} + 9 e^{9 x}\right)

  2. Теперь упростим:

    9(e3x+2)e6x(e3x+1)2- \frac{9 \left(e^{3 x} + 2\right) e^{6 x}}{\left(e^{3 x} + 1\right)^{2}}


Ответ:

9(e3x+2)e6x(e3x+1)2- \frac{9 \left(e^{3 x} + 2\right) e^{6 x}}{\left(e^{3 x} + 1\right)^{2}}

График
02468-8-6-4-2-1010-100000000000000100000000000000
Первая производная [src]
      6*x          9*x  
  18*e          9*e     
- -------- + -----------
   3*x                 2
  E    + 1   / 3*x    \ 
             \E    + 1/ 
18e6xe3x+1+9e9x(e3x+1)2- \frac{18 e^{6 x}}{e^{3 x} + 1} + \frac{9 e^{9 x}}{\left(e^{3 x} + 1\right)^{2}}
Вторая производная [src]
   /           6*x         3*x \     
   |        2*e         5*e    |  6*x
27*|-4 - ----------- + --------|*e   
   |               2        3*x|     
   |     /     3*x\    1 + e   |     
   \     \1 + e   /            /     
-------------------------------------
                    3*x              
               1 + e                 
27e6xe3x+1(4+5e3xe3x+12e6x(e3x+1)2)\frac{27 e^{6 x}}{e^{3 x} + 1} \left(-4 + \frac{5 e^{3 x}}{e^{3 x} + 1} - \frac{2 e^{6 x}}{\left(e^{3 x} + 1\right)^{2}}\right)
Третья производная [src]
   /           6*x           9*x         3*x \     
   |       18*e           6*e        19*e    |  6*x
81*|-8 - ----------- + ----------- + --------|*e   
   |               2             3        3*x|     
   |     /     3*x\    /     3*x\    1 + e   |     
   \     \1 + e   /    \1 + e   /            /     
---------------------------------------------------
                           3*x                     
                      1 + e                        
81e6xe3x+1(8+19e3xe3x+118e6x(e3x+1)2+6e9x(e3x+1)3)\frac{81 e^{6 x}}{e^{3 x} + 1} \left(-8 + \frac{19 e^{3 x}}{e^{3 x} + 1} - \frac{18 e^{6 x}}{\left(e^{3 x} + 1\right)^{2}} + \frac{6 e^{9 x}}{\left(e^{3 x} + 1\right)^{3}}\right)