Производная (-3*e^(6*x))/(e^(3*x)+1)

Вы ввели

    6*x 
-3*E    
--------
 3*x    
E    + 1

$$\frac{-1 \cdot 3 e^{6 x}}{e^{3 x} + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = - 3 e^{6 x}$ и $g{\left (x \right )} = e^{3 x} + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = 6 x$.

      2. Производная $e^{u}$ само оно.

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(6 x\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $6$

         В результате последовательности правил:

         $6 e^{6 x}$

      Таким образом, в результате: $- 18 e^{6 x}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $e^{3 x} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Заменим $u = 3 x$.

      3. Производная $e^{u}$ само оно.

      4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(3 x\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $3$

         В результате последовательности правил:

         $3 e^{3 x}$

      В результате: $3 e^{3 x}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(e^{3 x} + 1\right)^{2}} \left(- 18 \left(e^{3 x} + 1\right) e^{6 x} + 9 e^{9 x}\right)$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{9 \left(e^{3 x} + 2\right) e^{6 x}}{\left(e^{3 x} + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{9 \left(e^{3 x} + 2\right) e^{6 x}}{\left(e^{3 x} + 1\right)^{2}}$

Первая производная

      6*x          9*x  
  18*e          9*e     
- -------- + -----------
   3*x                 2
  E    + 1   / 3*x    \ 
             \E    + 1/ 

$$- \frac{18 e^{6 x}}{e^{3 x} + 1} + \frac{9 e^{9 x}}{\left(e^{3 x} + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

   /           6*x         3*x \     
   |        2*e         5*e    |  6*x
27*|-4 - ----------- + --------|*e   
   |               2        3*x|     
   |     /     3*x\    1 + e   |     
   \     \1 + e   /            /     
-------------------------------------
                    3*x              
               1 + e                 

$$\frac{27 e^{6 x}}{e^{3 x} + 1} \left(-4 + \frac{5 e^{3 x}}{e^{3 x} + 1} - \frac{2 e^{6 x}}{\left(e^{3 x} + 1\right)^{2}}\right)$$

Третья производная

   /           6*x           9*x         3*x \     
   |       18*e           6*e        19*e    |  6*x
81*|-8 - ----------- + ----------- + --------|*e   
   |               2             3        3*x|     
   |     /     3*x\    /     3*x\    1 + e   |     
   \     \1 + e   /    \1 + e   /            /     
---------------------------------------------------
                           3*x                     
                      1 + e                        

$$\frac{81 e^{6 x}}{e^{3 x} + 1} \left(-8 + \frac{19 e^{3 x}}{e^{3 x} + 1} - \frac{18 e^{6 x}}{\left(e^{3 x} + 1\right)^{2}} + \frac{6 e^{9 x}}{\left(e^{3 x} + 1\right)^{3}}\right)$$