Производная (sqrt(1+x^3)/(1-x^3))

Вы ввели

   ________
  /      3 
\/  1 + x  
-----------
        3  
   1 - x   

$$\frac{\sqrt{x^{3} + 1}}{- x^{3} + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \sqrt{x^{3} + 1}$ и $g{\left (x \right )} = - x^{3} + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = x^{3} + 1$.

   2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x^{3} + 1\right)$:

      1. дифференцируем $x^{3} + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

         В результате: $3 x^{2}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3} + 1}}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $- x^{3} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

         Таким образом, в результате: $- 3 x^{2}$

      В результате: $- 3 x^{2}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(- x^{3} + 1\right)^{2}} \left(\frac{3 x^{2} \left(- x^{3} + 1\right)}{2 \sqrt{x^{3} + 1}} + 3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 1}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{3 x^{2} \left(x^{3} + 3\right)}{2 \left(x^{3} - 1\right)^{2} \sqrt{x^{3} + 1}}$

---

Ответ:

$\frac{3 x^{2} \left(x^{3} + 3\right)}{2 \left(x^{3} - 1\right)^{2} \sqrt{x^{3} + 1}}$

Первая производная

        ________                         
   2   /      3                2         
3*x *\/  1 + x              3*x          
---------------- + ----------------------
           2            ________         
   /     3\            /      3  /     3\
   \1 - x /        2*\/  1 + x  *\1 - x /

$$\frac{3 x^{2}}{2 \left(- x^{3} + 1\right) \sqrt{x^{3} + 1}} + \frac{3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 1}}{\left(- x^{3} + 1\right)^{2}}$$

Упростить

Вторая производная

    /                     ________                           ________                        \
    |                    /      3            3          3   /      3                3        |
    |       1        2*\/  1 + x          3*x        6*x *\/  1 + x              3*x         |
3*x*|- ----------- + ------------- + ------------- - ---------------- + ---------------------|
    |     ________            3                3/2               2         ________          |
    |    /      3       -1 + x         /     3\         /      3\         /      3  /      3\|
    \  \/  1 + x                     4*\1 + x /         \-1 + x /       \/  1 + x  *\-1 + x //
----------------------------------------------------------------------------------------------
                                                 3                                            
                                           -1 + x                                             

$$\frac{3 x}{x^{3} - 1} \left(\frac{3 x^{3}}{4 \left(x^{3} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{3 x^{3}}{\left(x^{3} - 1\right) \sqrt{x^{3} + 1}} - \frac{6 x^{3} \sqrt{x^{3} + 1}}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} - \frac{1}{\sqrt{x^{3} + 1}} + \frac{2 \sqrt{x^{3} + 1}}{x^{3} - 1}\right)$$

Упростить

Третья производная

  /                     ________                                            ________                                                             ________                          \
  |                    /      3            6               3           3   /      3                6                        3               6   /      3                 6         |
  |       1        2*\/  1 + x         27*x             9*x        36*x *\/  1 + x             27*x                     18*x            54*x *\/  1 + x              27*x          |
3*|- ----------- + ------------- - ------------- + ------------- - ----------------- - ---------------------- + --------------------- + ----------------- - -----------------------|
  |     ________            3                5/2             3/2                2         ________          2      ________                          3                3/2          |
  |    /      3       -1 + x         /     3\        /     3\          /      3\         /      3  /      3\      /      3  /      3\       /      3\         /     3\    /      3\|
  \  \/  1 + x                     8*\1 + x /      2*\1 + x /          \-1 + x /       \/  1 + x  *\-1 + x /    \/  1 + x  *\-1 + x /       \-1 + x /       4*\1 + x /   *\-1 + x //
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                            3                                                                                       
                                                                                      -1 + x                                                                                        

$$\frac{1}{x^{3} - 1} \left(- \frac{81 x^{6}}{8 \left(x^{3} + 1\right)^{\frac{5}{2}}} - \frac{81 x^{6}}{4 \left(x^{3} - 1\right) \left(x^{3} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{81 x^{6}}{\left(x^{3} - 1\right)^{2} \sqrt{x^{3} + 1}} + \frac{162 x^{6} \sqrt{x^{3} + 1}}{\left(x^{3} - 1\right)^{3}} + \frac{27 x^{3}}{2 \left(x^{3} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{54 x^{3}}{\left(x^{3} - 1\right) \sqrt{x^{3} + 1}} - \frac{108 x^{3} \sqrt{x^{3} + 1}}{\left(x^{3} - 1\right)^{2}} - \frac{3}{\sqrt{x^{3} + 1}} + \frac{6 \sqrt{x^{3} + 1}}{x^{3} - 1}\right)$$

Упростить

График