Производная (x+2)*tan(2*x)^3

           3     
(x + 2)*tan (2*x)

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x + 2$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x + 2$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      2. Производная постоянной $2$ равна нулю.

      В результате: $1$

   $g{\left (x \right )} = \tan^{3}{\left (2 x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \tan{\left (2 x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (2 x \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. Заменим $u = 2 x$.

         2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(2 x\right)$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $2$

            В результате последовательности правил:

            $\frac{2}{\cos^{2}{\left (2 x \right )}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{3 \tan^{2}{\left (2 x \right )}}{\cos^{2}{\left (2 x \right )}} \left(2 \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 2 \cos^{2}{\left (2 x \right )}\right)$

   В результате: $\frac{3 \tan^{2}{\left (2 x \right )}}{\cos^{2}{\left (2 x \right )}} \left(x + 2\right) \left(2 \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 2 \cos^{2}{\left (2 x \right )}\right) + \tan^{3}{\left (2 x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{\tan^{2}{\left (2 x \right )}}{\cos^{2}{\left (2 x \right )}} \left(6 x + \frac{1}{2} \sin{\left (4 x \right )} + 12\right)$

Ответ:

$\frac{\tan^{2}{\left (2 x \right )}}{\cos^{2}{\left (2 x \right )}} \left(6 x + \frac{1}{2} \sin{\left (4 x \right )} + 12\right)$

   3           2      /         2     \        
tan (2*x) + tan (2*x)*\6 + 6*tan (2*x)/*(x + 2)

   /       2     \ /     2                  /       2     \                   \         
12*\1 + tan (2*x)/*\2*tan (2*x)*(2 + x) + 2*\1 + tan (2*x)/*(2 + x) + tan(2*x)/*tan(2*x)

                   /                               2                                                                                                  \
   /       2     \ |     3          /       2     \              /       2     \                 4                      2      /       2     \        |
24*\1 + tan (2*x)/*\3*tan (2*x) + 2*\1 + tan (2*x)/ *(2 + x) + 3*\1 + tan (2*x)/*tan(2*x) + 4*tan (2*x)*(2 + x) + 14*tan (2*x)*\1 + tan (2*x)/*(2 + x)/