Производная (x+2)*tan(2*x)^3

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
           3     
(x + 2)*tan (2*x)
(x+2)tan3(2x)\left(x + 2\right) \tan^{3}{\left (2 x \right )}
Подробное решение
  1. Применяем правило производной умножения:

    ddx(f(x)g(x))=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}

    f(x)=x+2f{\left (x \right )} = x + 2; найдём ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

    1. дифференцируем x+2x + 2 почленно:

      1. В силу правила, применим: xx получим 11

      2. Производная постоянной 22 равна нулю.

      В результате: 11

    g(x)=tan3(2x)g{\left (x \right )} = \tan^{3}{\left (2 x \right )}; найдём ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

    1. Заменим u=tan(2x)u = \tan{\left (2 x \right )}.

    2. В силу правила, применим: u3u^{3} получим 3u23 u^{2}

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxtan(2x)\frac{d}{d x} \tan{\left (2 x \right )}:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

        Один из способов:

        1. Заменим u=2xu = 2 x.

        2. ddutan(u)=1cos2(u)\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}

        3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx(2x)\frac{d}{d x}\left(2 x\right):

          1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: xx получим 11

            Таким образом, в результате: 22

          В результате последовательности правил:

          2cos2(2x)\frac{2}{\cos^{2}{\left (2 x \right )}}

      В результате последовательности правил:

      3tan2(2x)cos2(2x)(2sin2(2x)+2cos2(2x))\frac{3 \tan^{2}{\left (2 x \right )}}{\cos^{2}{\left (2 x \right )}} \left(2 \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 2 \cos^{2}{\left (2 x \right )}\right)

    В результате: 3tan2(2x)cos2(2x)(x+2)(2sin2(2x)+2cos2(2x))+tan3(2x)\frac{3 \tan^{2}{\left (2 x \right )}}{\cos^{2}{\left (2 x \right )}} \left(x + 2\right) \left(2 \sin^{2}{\left (2 x \right )} + 2 \cos^{2}{\left (2 x \right )}\right) + \tan^{3}{\left (2 x \right )}

  2. Теперь упростим:

    tan2(2x)cos2(2x)(6x+12sin(4x)+12)\frac{\tan^{2}{\left (2 x \right )}}{\cos^{2}{\left (2 x \right )}} \left(6 x + \frac{1}{2} \sin{\left (4 x \right )} + 12\right)


Ответ:

tan2(2x)cos2(2x)(6x+12sin(4x)+12)\frac{\tan^{2}{\left (2 x \right )}}{\cos^{2}{\left (2 x \right )}} \left(6 x + \frac{1}{2} \sin{\left (4 x \right )} + 12\right)

График
02468-8-6-4-2-1010-100000000100000000
Первая производная [src]
   3           2      /         2     \        
tan (2*x) + tan (2*x)*\6 + 6*tan (2*x)/*(x + 2)
(x+2)(6tan2(2x)+6)tan2(2x)+tan3(2x)\left(x + 2\right) \left(6 \tan^{2}{\left (2 x \right )} + 6\right) \tan^{2}{\left (2 x \right )} + \tan^{3}{\left (2 x \right )}
Вторая производная [src]
   /       2     \ /     2                  /       2     \                   \         
12*\1 + tan (2*x)/*\2*tan (2*x)*(2 + x) + 2*\1 + tan (2*x)/*(2 + x) + tan(2*x)/*tan(2*x)
12(tan2(2x)+1)(2(x+2)(tan2(2x)+1)+2(x+2)tan2(2x)+tan(2x))tan(2x)12 \left(\tan^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right) \left(2 \left(x + 2\right) \left(\tan^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right) + 2 \left(x + 2\right) \tan^{2}{\left (2 x \right )} + \tan{\left (2 x \right )}\right) \tan{\left (2 x \right )}
Третья производная [src]
                   /                               2                                                                                                  \
   /       2     \ |     3          /       2     \              /       2     \                 4                      2      /       2     \        |
24*\1 + tan (2*x)/*\3*tan (2*x) + 2*\1 + tan (2*x)/ *(2 + x) + 3*\1 + tan (2*x)/*tan(2*x) + 4*tan (2*x)*(2 + x) + 14*tan (2*x)*\1 + tan (2*x)/*(2 + x)/
24(tan2(2x)+1)(2(x+2)(tan2(2x)+1)2+14(x+2)(tan2(2x)+1)tan2(2x)+4(x+2)tan4(2x)+3(tan2(2x)+1)tan(2x)+3tan3(2x))24 \left(\tan^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right) \left(2 \left(x + 2\right) \left(\tan^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right)^{2} + 14 \left(x + 2\right) \left(\tan^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (2 x \right )} + 4 \left(x + 2\right) \tan^{4}{\left (2 x \right )} + 3 \left(\tan^{2}{\left (2 x \right )} + 1\right) \tan{\left (2 x \right )} + 3 \tan^{3}{\left (2 x \right )}\right)