Производная e^x*sin(t)+e^x*cos(x)

Вы ввели

 x           x       
e *sin(t) + e *cos(x)

$$e^{x} \sin{\left(t \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)}$$

d / x           x       \
--\e *sin(t) + e *cos(x)/
dx                       

$$\frac{\partial}{\partial x} \left(e^{x} \sin{\left(t \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)}\right)$$

Подробное решение

1. дифференцируем $e^{x} \sin{\left(t \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)}$ почленно:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Производная $e^{x}$ само оно.

      Таким образом, в результате: $e^{x} \sin{\left(t \right)}$

   2. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная $e^{x}$ само оно.

      $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      В результате: $- e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)}$

   В результате: $e^{x} \sin{\left(t \right)} - e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $\left(\sin{\left(t \right)} + \sqrt{2} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right) e^{x}$

---

Ответ:

$\left(\sin{\left(t \right)} + \sqrt{2} \cos{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\right) e^{x}$

Первая производная

        x    x           x       
cos(x)*e  + e *sin(t) - e *sin(x)

$$e^{x} \sin{\left(t \right)} - e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)}$$

Вторая производная

                      x
(-2*sin(x) + sin(t))*e 

$$\left(\sin{\left(t \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}\right) e^{x}$$

Третья производная

                                 x
(-2*cos(x) - 2*sin(x) + sin(t))*e 

$$\left(\sin{\left(t \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right) e^{x}$$