Производная e^x*sin(t)+e^x*cos(x)

Вы ввели

 x           x       
E *sin(t) + E *cos(x)

$$e^{x} \sin{\left (t \right )} + e^{x} \cos{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. дифференцируем $e^{x} \sin{\left (t \right )} + e^{x} \cos{\left (x \right )}$ почленно:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Производная $e^{x}$ само оно.

      Таким образом, в результате: $e^{x} \sin{\left (t \right )}$

   2. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

      $f{\left (x \right )} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. Производная $e^{x}$ само оно.

      $g{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      В результате: $- e^{x} \sin{\left (x \right )} + e^{x} \cos{\left (x \right )}$

   В результате: $e^{x} \sin{\left (t \right )} - e^{x} \sin{\left (x \right )} + e^{x} \cos{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\left(\sin{\left (t \right )} + \sqrt{2} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}\right) e^{x}$

---

Ответ:

$\left(\sin{\left (t \right )} + \sqrt{2} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}\right) e^{x}$

Первая производная

        x    x           x       
cos(x)*e  + e *sin(t) - e *sin(x)

$$e^{x} \sin{\left (t \right )} - e^{x} \sin{\left (x \right )} + e^{x} \cos{\left (x \right )}$$

Упростить

Вторая производная

                      x
(-2*sin(x) + sin(t))*e 

$$\left(\sin{\left (t \right )} - 2 \sin{\left (x \right )}\right) e^{x}$$

Упростить

Третья производная

                                 x
(-2*cos(x) - 2*sin(x) + sin(t))*e 

$$\left(\sin{\left (t \right )} - 2 \sin{\left (x \right )} - 2 \cos{\left (x \right )}\right) e^{x}$$

Упростить