Производная sqrt(x)/(1+sqrt(x))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
    ___  
  \/ x   
---------
      ___
1 + \/ x 
xx+1\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}
  /    ___  \
d |  \/ x   |
--|---------|
dx|      ___|
  \1 + \/ x /
ddxxx+1\frac{d}{d x} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}
Подробное решение
  1. Применим правило производной частного:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=xf{\left(x \right)} = \sqrt{x} и g(x)=x+1g{\left(x \right)} = \sqrt{x} + 1.

    Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. В силу правила, применим: x\sqrt{x} получим 12x\frac{1}{2 \sqrt{x}}

    Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. дифференцируем x+1\sqrt{x} + 1 почленно:

      1. Производная постоянной 11 равна нулю.

      2. В силу правила, применим: x\sqrt{x} получим 12x\frac{1}{2 \sqrt{x}}

      В результате: 12x\frac{1}{2 \sqrt{x}}

    Теперь применим правило производной деления:

    12+x+12x(x+1)2\frac{- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{x} + 1}{2 \sqrt{x}}}{\left(\sqrt{x} + 1\right)^{2}}

  2. Теперь упростим:

    12x(x+1)2\frac{1}{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} + 1\right)^{2}}


Ответ:

12x(x+1)2\frac{1}{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} + 1\right)^{2}}

График
02468-8-6-4-2-10100.01.0
Первая производная [src]
        1                   1         
- -------------- + -------------------
               2       ___ /      ___\
    /      ___\    2*\/ x *\1 + \/ x /
  2*\1 + \/ x /                       
12(x+1)2+12x(x+1)- \frac{1}{2 \left(\sqrt{x} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} + 1\right)}
Вторая производная [src]
                           ___ / 1           2      \
                         \/ x *|---- + -------------|
                               | 3/2     /      ___\|
   1           2               \x      x*\1 + \/ x //
- ---- - ------------- + ----------------------------
   3/2     /      ___\                  ___          
  x      x*\1 + \/ x /            1 + \/ x           
-----------------------------------------------------
                      /      ___\                    
                    4*\1 + \/ x /                    
x(2x(x+1)+1x32)x+12x(x+1)1x324(x+1)\frac{\frac{\sqrt{x} \left(\frac{2}{x \left(\sqrt{x} + 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right)}{\sqrt{x} + 1} - \frac{2}{x \left(\sqrt{x} + 1\right)} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{4 \left(\sqrt{x} + 1\right)}
Третья производная [src]
  /                                                 ___ / 1           2                  2        \\
  |                         1           2         \/ x *|---- + -------------- + -----------------||
  |                        ---- + -------------         | 5/2    2 /      ___\                   2||
  |                         3/2     /      ___\         |x      x *\1 + \/ x /    3/2 /      ___\ ||
  | 1           1          x      x*\1 + \/ x /         \                        x   *\1 + \/ x / /|
3*|---- + -------------- + -------------------- - -------------------------------------------------|
  | 5/2    2 /      ___\      ___ /      ___\                               ___                    |
  \x      x *\1 + \/ x /    \/ x *\1 + \/ x /                         1 + \/ x                     /
----------------------------------------------------------------------------------------------------
                                             /      ___\                                            
                                           8*\1 + \/ x /                                            
3(x(2x2(x+1)+2x32(x+1)2+1x52)x+1+1x2(x+1)+2x(x+1)+1x32x(x+1)+1x52)8(x+1)\frac{3 \left(- \frac{\sqrt{x} \left(\frac{2}{x^{2} \left(\sqrt{x} + 1\right)} + \frac{2}{x^{\frac{3}{2}} \left(\sqrt{x} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}\right)}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{x^{2} \left(\sqrt{x} + 1\right)} + \frac{\frac{2}{x \left(\sqrt{x} + 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{\sqrt{x} \left(\sqrt{x} + 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}\right)}{8 \left(\sqrt{x} + 1\right)}
График
Производная sqrt(x)/(1+sqrt(x)) /media/krcore-image-pods/hash/derivative/1/25/79c3309d7879d1cc04a8bc0c5df29.png