Производная sqrt(x)/(1+sqrt(x))

Вы ввели

    ___  
  \/ x   
---------
      ___
1 + \/ x 

$$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}$$

  /    ___  \
d |  \/ x   |
--|---------|
dx|      ___|
  \1 + \/ x /

$$\frac{d}{d x} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sqrt{x}$ и $g{\left(x \right)} = \sqrt{x} + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $\sqrt{x} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

      В результате: $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{x} + 1}{2 \sqrt{x}}}{\left(\sqrt{x} + 1\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} + 1\right)^{2}}$

Первая производная

        1                   1         
- -------------- + -------------------
               2       ___ /      ___\
    /      ___\    2*\/ x *\1 + \/ x /
  2*\1 + \/ x /                       

$$- \frac{1}{2 \left(\sqrt{x} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} + 1\right)}$$

Вторая производная

                           ___ / 1           2      \
                         \/ x *|---- + -------------|
                               | 3/2     /      ___\|
   1           2               \x      x*\1 + \/ x //
- ---- - ------------- + ----------------------------
   3/2     /      ___\                  ___          
  x      x*\1 + \/ x /            1 + \/ x           
-----------------------------------------------------
                      /      ___\                    
                    4*\1 + \/ x /                    

$$\frac{\frac{\sqrt{x} \left(\frac{2}{x \left(\sqrt{x} + 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right)}{\sqrt{x} + 1} - \frac{2}{x \left(\sqrt{x} + 1\right)} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{4 \left(\sqrt{x} + 1\right)}$$

Третья производная

  /                                                 ___ / 1           2                  2        \\
  |                         1           2         \/ x *|---- + -------------- + -----------------||
  |                        ---- + -------------         | 5/2    2 /      ___\                   2||
  |                         3/2     /      ___\         |x      x *\1 + \/ x /    3/2 /      ___\ ||
  | 1           1          x      x*\1 + \/ x /         \                        x   *\1 + \/ x / /|
3*|---- + -------------- + -------------------- - -------------------------------------------------|
  | 5/2    2 /      ___\      ___ /      ___\                               ___                    |
  \x      x *\1 + \/ x /    \/ x *\1 + \/ x /                         1 + \/ x                     /
----------------------------------------------------------------------------------------------------
                                             /      ___\                                            
                                           8*\1 + \/ x /                                            

$$\frac{3 \left(- \frac{\sqrt{x} \left(\frac{2}{x^{2} \left(\sqrt{x} + 1\right)} + \frac{2}{x^{\frac{3}{2}} \left(\sqrt{x} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}\right)}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{x^{2} \left(\sqrt{x} + 1\right)} + \frac{\frac{2}{x \left(\sqrt{x} + 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{\sqrt{x} \left(\sqrt{x} + 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}\right)}{8 \left(\sqrt{x} + 1\right)}$$

График