Производная cbrt(2*(x+1)^2*(x-2))

Вы ввели

   ____________________
3 /          2         
\/  2*(x + 1) *(x - 2) 

$$\sqrt[3]{\left(x - 2\right) 2 \left(x + 1\right)^{2}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \left(x - 2\right) 2 \left(x + 1\right)^{2}$.

2. В силу правила, применим: $\sqrt[3]{u}$ получим $\frac{1}{3 u^{\frac{2}{3}}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\left(x - 2\right) 2 \left(x + 1\right)^{2}\right)$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

      $f{\left (x \right )} = 2 \left(x + 1\right)^{2}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Заменим $u = x + 1$.

         2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x + 1\right)$:

            1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

               В результате: $1$

            В результате последовательности правил:

            $2 x + 2$

         Таким образом, в результате: $4 x + 4$

      $g{\left (x \right )} = x - 2$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $x - 2$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         2. Производная постоянной $-2$ равна нулю.

         В результате: $1$

      В результате: $\left(x - 2\right) \left(4 x + 4\right) + 2 \left(x + 1\right)^{2}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\sqrt[3]{2} \left(\left(x - 2\right) \left(4 x + 4\right) + 2 \left(x + 1\right)^{2}\right)}{6 \left(\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)^{2}\right)^{\frac{2}{3}}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{\sqrt[3]{2} \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{3} - 3 x - 2\right)^{\frac{2}{3}}}$

---

Ответ:

$\frac{\sqrt[3]{2} \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{3} - 3 x - 2\right)^{\frac{2}{3}}}$

Первая производная

   ____________________ /         2                    \
3 /          2          |2*(x + 1)    (4 + 4*x)*(x - 2)|
\/  2*(x + 1) *(x - 2) *|---------- + -----------------|
                        \    3                3        /
--------------------------------------------------------
                            2                           
                   2*(x + 1) *(x - 2)                   

$$\frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)^{2}}}{2 \left(x - 2\right) \left(x + 1\right)^{2}} \left(\frac{1}{3} \left(x - 2\right) \left(4 x + 4\right) + \frac{2}{3} \left(x + 1\right)^{2}\right)$$

Вторая производная

         ___________________ /                                           2    \
3 ___ 3 /        2           |  -1 + x   2*(-1 + x)    2*x       (-1 + x)     |
\/ 2 *\/  (1 + x) *(-2 + x) *|- ------ - ---------- + ----- + ----------------|
                             \  -2 + x     1 + x      1 + x   (1 + x)*(-2 + x)/
-------------------------------------------------------------------------------
                                (1 + x)*(-2 + x)                               

$$\frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)^{2}}}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} \left(\frac{2 x}{x + 1} - \frac{2 x - 2}{x + 1} + \frac{\left(x - 1\right)^{2}}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} - \frac{x - 1}{x - 2}\right)$$

Третья производная

         ___________________ /                                                         3                     2                                      2                                          \
3 ___ 3 /        2           |  2       8*x      2*(-1 + x)   6*(-1 + x)       (-1 + x)            6*(-1 + x)             4*x             3*(-1 + x)          4*(-1 + x)         6*x*(-1 + x)  |
\/ 2 *\/  (1 + x) *(-2 + x) *|----- - -------- + ---------- + ---------- + ------------------ - ----------------- - ---------------- - ----------------- + ---------------- + -----------------|
                             |1 + x          2           2            2           2         2          2            (1 + x)*(-2 + x)                   2   (1 + x)*(-2 + x)          2         |
                             \        (1 + x)    (-2 + x)      (1 + x)     (1 + x) *(-2 + x)    (1 + x) *(-2 + x)                      (1 + x)*(-2 + x)                       (1 + x) *(-2 + x)/
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                        (1 + x)*(-2 + x)                                                                                        

$$\frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)^{2}}}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} \left(- \frac{8 x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{6 x \left(x - 1\right)}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)^{2}} - \frac{4 x}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} + \frac{6 x - 6}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2}{x + 1} - \frac{6 \left(x - 1\right)^{2}}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{4 x - 4}{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)} + \frac{\left(x - 1\right)^{3}}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x + 1\right)^{2}} - \frac{3 \left(x - 1\right)^{2}}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x + 1\right)} + \frac{2 x - 2}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)$$