Производная (x/(x+1))^2

()'

↑ Функция f () ? - производная -го порядка

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
       2
/  x  \ 
|-----| 
\x + 1/ 
$$\left(\frac{x}{x + 1}\right)^{2}$$
Подробное решение
[LaTeX]
  1. Заменим .

  2. В силу правила, применим: получим

  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

    1. Применим правило производной частного:

      и .

      Чтобы найти :

      1. В силу правила, применим: получим

      Чтобы найти :

      1. дифференцируем почленно:

        1. Производная постоянной равна нулю.

        2. В силу правила, применим: получим

        В результате:

      Теперь применим правило производной деления:

    В результате последовательности правил:

  4. Теперь упростим:


Ответ:

График
[LaTeX]
Первая производная
[LaTeX]
    2                              
   x             /  2       2*x   \
--------*(x + 1)*|----- - --------|
       2         |x + 1          2|
(x + 1)          \        (x + 1) /
-----------------------------------
                 x                 
$$\frac{x^{2}}{x} \frac{1}{x + 1} \left(- \frac{2 x}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2}{x + 1}\right)$$
Вторая производная
[LaTeX]
  /       x  \ /      3*x \
2*|-1 + -----|*|-1 + -----|
  \     1 + x/ \     1 + x/
---------------------------
                 2         
          (1 + x)          
$$\frac{2}{\left(x + 1\right)^{2}} \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{3 x}{x + 1} - 1\right)$$
Третья производная
[LaTeX]
               /                                        2                          \
               |                            4*x      3*x                           |
               |                 x     1 - ----- + --------          x             |
               |          -1 + -----       1 + x          2   -1 + -----           |
  /       x  \ |    1          1 + x               (1 + x)         1 + x     2*x   |
4*|-1 + -----|*|- ----- - ---------- - -------------------- - ---------- - --------|
  \     1 + x/ |  1 + x       x                 x               1 + x             2|
               \                                                           (1 + x) /
------------------------------------------------------------------------------------
                                             2                                      
                                      (1 + x)                                       
$$\frac{4}{\left(x + 1\right)^{2}} \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(- \frac{2 x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{\frac{x}{x + 1} - 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x} \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) - \frac{1}{x} \left(\frac{3 x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{4 x}{x + 1} + 1\right)\right)$$