Производная (-1+(1-e^((-x)*t))^2)*(1-1+e^((-x^2)*t))*(1-(1-e^((-x^3)*t))^2)

Вы ввели

                           /                2\
/                2\    2   |    /       3  \ |
|     /     -x*t\ |  -x *t |    |     -x *t| |
\-1 + \1 - E    / /*E     *\1 - \1 - E     / /

$$e^{t \left(- x^{2}\right)} \left(\left(- e^{t \left(- x\right)} + 1\right)^{2} - 1\right) \left(- \left(- e^{t \left(- x^{3}\right)} + 1\right)^{2} + 1\right)$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = e^{t \left(- x^{2}\right)} \left(\left(- e^{t \left(- x\right)} + 1\right)^{2} - 1\right)$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

      $f{\left (x \right )} = \left(- e^{t \left(- x\right)} + 1\right)^{2} - 1$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $\left(- e^{t \left(- x\right)} + 1\right)^{2} - 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

         2. Заменим $u = - e^{t \left(- x\right)} + 1$.

         3. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

         4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial x}\left(- e^{t \left(- x\right)} + 1\right)$:

            1. дифференцируем $- e^{t \left(- x\right)} + 1$ почленно:

               1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

               2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                  1. Заменим $u = t \left(- x\right)$.

                  2. Производная $e^{u}$ само оно.

                  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial x}\left(t \left(- x\right)\right)$:

                     1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                        1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                           1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                           Таким образом, в результате: $-1$

                        Таким образом, в результате: $- t$

                     В результате последовательности правил:

                     $- t e^{t \left(- x\right)}$

                  Таким образом, в результате: $t e^{t \left(- x\right)}$

               В результате: $t e^{t \left(- x\right)}$

            В результате последовательности правил:

            $t \left(- 2 e^{t \left(- x\right)} + 2\right) e^{t \left(- x\right)}$

         В результате: $t \left(- 2 e^{t \left(- x\right)} + 2\right) e^{t \left(- x\right)}$

      $g{\left (x \right )} = e^{t \left(- x^{2}\right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. Заменим $u = t \left(- x^{2}\right)$.

      2. Производная $e^{u}$ само оно.

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial x}\left(t \left(- x^{2}\right)\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

               Таким образом, в результате: $- 2 x$

            Таким образом, в результате: $- 2 t x$

         В результате последовательности правил:

         $- 2 t x e^{t \left(- x^{2}\right)}$

      В результате: $- 2 t x \left(\left(- e^{t \left(- x\right)} + 1\right)^{2} - 1\right) e^{t \left(- x^{2}\right)} + t \left(- 2 e^{t \left(- x\right)} + 2\right) e^{t \left(- x\right)} e^{t \left(- x^{2}\right)}$

   $g{\left (x \right )} = - \left(- e^{t \left(- x^{3}\right)} + 1\right)^{2} + 1$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $- \left(- e^{t \left(- x^{3}\right)} + 1\right)^{2} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Заменим $u = - e^{t \left(- x^{3}\right)} + 1$.

         2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial x}\left(- e^{t \left(- x^{3}\right)} + 1\right)$:

            1. дифференцируем $- e^{t \left(- x^{3}\right)} + 1$ почленно:

               1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

               2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                  1. Заменим $u = t \left(- x^{3}\right)$.

                  2. Производная $e^{u}$ само оно.

                  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial x}\left(t \left(- x^{3}\right)\right)$:

                     1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                        1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                           1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

                           Таким образом, в результате: $- 3 x^{2}$

                        Таким образом, в результате: $- 3 t x^{2}$

                     В результате последовательности правил:

                     $- 3 t x^{2} e^{t \left(- x^{3}\right)}$

                  Таким образом, в результате: $3 t x^{2} e^{t \left(- x^{3}\right)}$

               В результате: $3 t x^{2} e^{t \left(- x^{3}\right)}$

            В результате последовательности правил:

            $3 t x^{2} \left(- 2 e^{t \left(- x^{3}\right)} + 2\right) e^{t \left(- x^{3}\right)}$

         Таким образом, в результате: $- 3 t x^{2} \left(- 2 e^{t \left(- x^{3}\right)} + 2\right) e^{t \left(- x^{3}\right)}$

      В результате: $- 3 t x^{2} \left(- 2 e^{t \left(- x^{3}\right)} + 2\right) e^{t \left(- x^{3}\right)}$

   В результате: $- 3 t x^{2} \left(- 2 e^{t \left(- x^{3}\right)} + 2\right) \left(\left(- e^{t \left(- x\right)} + 1\right)^{2} - 1\right) e^{t \left(- x^{2}\right)} e^{t \left(- x^{3}\right)} + \left(- 2 t x \left(\left(- e^{t \left(- x\right)} + 1\right)^{2} - 1\right) e^{t \left(- x^{2}\right)} + t \left(- 2 e^{t \left(- x\right)} + 2\right) e^{t \left(- x\right)} e^{t \left(- x^{2}\right)}\right) \left(- \left(- e^{t \left(- x^{3}\right)} + 1\right)^{2} + 1\right)$

2. Теперь упростим:

   $2 t \left(3 x^{2} \left(\left(- e^{t x} + 1\right)^{2} - e^{2 t x}\right) \left(- e^{t x^{3}} + 1\right) + \left(\left(- e^{t x^{3}} + 1\right)^{2} - e^{2 t x^{3}}\right) \left(x \left(\left(- e^{t x} + 1\right)^{2} - e^{2 t x}\right) - e^{t x} + 1\right)\right) e^{- t x \left(2 x^{2} + x + 2\right)}$

---

Ответ:

$2 t \left(3 x^{2} \left(\left(- e^{t x} + 1\right)^{2} - e^{2 t x}\right) \left(- e^{t x^{3}} + 1\right) + \left(\left(- e^{t x^{3}} + 1\right)^{2} - e^{2 t x^{3}}\right) \left(x \left(\left(- e^{t x} + 1\right)^{2} - e^{2 t x}\right) - e^{t x} + 1\right)\right) e^{- t x \left(2 x^{2} + x + 2\right)}$

Первая производная

/                2\                                                                                                                            
|    /       3  \ | /        /                2\    2                              2  \          /       3  \ /                2\    2      3  
|    |     -x *t| | |        |     /     -x*t\ |  -x *t       /     -x*t\  -x*t  -x *t|        2 |     -x *t| |     /     -x*t\ |  -x *t  -x *t
\1 - \1 - E     / /*\- 2*t*x*\-1 + \1 - E    / /*e      + 2*t*\1 - E    /*e    *e     / - 6*t*x *\1 - E     /*\-1 + \1 - E    / /*e     *e     

$$- 6 t x^{2} \left(- e^{t \left(- x^{3}\right)} + 1\right) \left(\left(- e^{t \left(- x\right)} + 1\right)^{2} - 1\right) e^{t \left(- x^{2}\right)} e^{t \left(- x^{3}\right)} + \left(- 2 t x \left(\left(- e^{t \left(- x\right)} + 1\right)^{2} - 1\right) e^{t \left(- x^{2}\right)} + 2 t \left(- e^{t \left(- x\right)} + 1\right) e^{t \left(- x\right)} e^{t \left(- x^{2}\right)}\right) \left(- \left(- e^{t \left(- x^{3}\right)} + 1\right)^{2} + 1\right)$$

Упростить

Вторая производная

    /  /                  2\                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          \       
    |  |     /          3\ | /                2                                             /                 2\                           \          /                 2\        3       /                 2\ /          3\      3          /                 2\ /          3\      3          /          3\ /  /                 2\                     \      3          /                 2\ /          3\      3                       /          3\            3|      2
    |  |     |      -t*x | | |    /      -t*x\       -2*t*x     /      -t*x\  -t*x        2 |     /      -t*x\ |         /      -t*x\  -t*x|        4 |     /      -t*x\ |  -2*t*x        |     /      -t*x\ | |      -t*x |  -t*x         4 |     /      -t*x\ | |      -t*x |  -t*x         2 |      -t*x | |  |     /      -t*x\ |   /      -t*x\  -t*x|  -t*x         3 |     /      -t*x\ | |      -t*x |  -t*x         2 /      -t*x\ |      -t*x |  -t*x  -t*x |  -t*x 
2*t*\- \-1 + \-1 + e     / /*\1 - \-1 + e    /  + t*e       + t*\-1 + e    /*e     + 2*t*x *\-1 + \-1 + e    / / + 4*t*x*\-1 + e    /*e    / - 9*t*x *\-1 + \-1 + e    / /*e        + 6*x*\-1 + \-1 + e    / /*\-1 + e     /*e      - 9*t*x *\-1 + \-1 + e    / /*\-1 + e     /*e      - 6*t*x *\-1 + e     /*\x*\-1 + \-1 + e    / / + \-1 + e    /*e    /*e      - 6*t*x *\-1 + \-1 + e    / /*\-1 + e     /*e      - 6*t*x *\-1 + e    /*\-1 + e     /*e    *e     /*e     

$$2 t \left(- 9 t x^{4} \left(-1 + e^{- t x^{3}}\right) \left(\left(-1 + e^{- t x}\right)^{2} - 1\right) e^{- t x^{3}} - 9 t x^{4} \left(\left(-1 + e^{- t x}\right)^{2} - 1\right) e^{- 2 t x^{3}} - 6 t x^{3} \left(-1 + e^{- t x^{3}}\right) \left(\left(-1 + e^{- t x}\right)^{2} - 1\right) e^{- t x^{3}} - 6 t x^{2} \left(-1 + e^{- t x}\right) \left(-1 + e^{- t x^{3}}\right) e^{- t x} e^{- t x^{3}} - 6 t x^{2} \left(-1 + e^{- t x^{3}}\right) \left(x \left(\left(-1 + e^{- t x}\right)^{2} - 1\right) + \left(-1 + e^{- t x}\right) e^{- t x}\right) e^{- t x^{3}} + 6 x \left(-1 + e^{- t x^{3}}\right) \left(\left(-1 + e^{- t x}\right)^{2} - 1\right) e^{- t x^{3}} - \left(\left(-1 + e^{- t x^{3}}\right)^{2} - 1\right) \left(2 t x^{2} \left(\left(-1 + e^{- t x}\right)^{2} - 1\right) + 4 t x \left(-1 + e^{- t x}\right) e^{- t x} + t \left(-1 + e^{- t x}\right) e^{- t x} + t e^{- 2 t x} - \left(-1 + e^{- t x}\right)^{2} + 1\right)\right) e^{- t x^{2}}$$

Упростить

Третья производная

    /  /                  2\                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                \       
    |  |     /          3\ | /      /                 2\                                                                      /                 2\                                                                        \     /                 2\ /          3\      3           /                 2\        3            /  /                 2\                     \        3            /                 2\        3            /                 2\        3           /                 2\ /          3\      3           /                 2\ /          3\      3          /          3\ /  /                 2\                     \      3           /          3\      3                   /          3\ /                2                                             /                 2\                           \      3            /                 2\ /          3\      3            /          3\ /  /                 2\                     \      3            /                 2\ /          3\      3                                      3            /                 2\ /          3\      3                       /          3\            3                        /          3\            3                         /          3\            3                         /          3\            3|      2
    |  |     |      -t*x | | |      |     /      -t*x\ |     /      -t*x\  -t*x        -2*t*x     /      -t*x\  -t*x        3 |     /      -t*x\ |          -2*t*x         /      -t*x\  -t*x         2 /      -t*x\  -t*x|     |     /      -t*x\ | |      -t*x |  -t*x          3 |     /      -t*x\ |  -2*t*x        2  4 |  |     /      -t*x\ |   /      -t*x\  -t*x|  -2*t*x        2  5 |     /      -t*x\ |  -2*t*x        2  6 |     /      -t*x\ |  -2*t*x          3 |     /      -t*x\ | |      -t*x |  -t*x          2 |     /      -t*x\ | |      -t*x |  -t*x           |      -t*x | |  |     /      -t*x\ |   /      -t*x\  -t*x|  -t*x       2  2 |      -t*x |  -t*x   -2*t*x         2 |      -t*x | |    /      -t*x\       -2*t*x     /      -t*x\  -t*x        2 |     /      -t*x\ |         /      -t*x\  -t*x|  -t*x        2  4 |     /      -t*x\ | |      -t*x |  -t*x        2  4 |      -t*x | |  |     /      -t*x\ |   /      -t*x\  -t*x|  -t*x        2  6 |     /      -t*x\ | |      -t*x |  -t*x        2  4 /      -t*x\  -t*x  -2*t*x        2  5 |     /      -t*x\ | |      -t*x |  -t*x           /      -t*x\ |      -t*x |  -t*x  -t*x       2  2 /      -t*x\ |      -t*x |  -t*x  -t*x        2  3 /      -t*x\ |      -t*x |  -t*x  -t*x        2  4 /      -t*x\ |      -t*x |  -t*x  -t*x |  -t*x 
2*t*\t*\-1 + \-1 + e     / /*\- 6*x*\-1 + \-1 + e    / / - 6*\-1 + e    /*e     + 3*t*e       + t*\-1 + e    /*e     + 4*t*x *\-1 + \-1 + e    / / + 6*t*x*e       + 6*t*x*\-1 + e    /*e     + 12*t*x *\-1 + e    /*e    / + 6*\-1 + \-1 + e    / /*\-1 + e     /*e      - 54*t*x *\-1 + \-1 + e    / /*e        + 18*t *x *\x*\-1 + \-1 + e    / / + \-1 + e    /*e    /*e        + 36*t *x *\-1 + \-1 + e    / /*e        + 81*t *x *\-1 + \-1 + e    / /*e        - 54*t*x *\-1 + \-1 + e    / /*\-1 + e     /*e      - 30*t*x *\-1 + \-1 + e    / /*\-1 + e     /*e      - 12*t*x*\-1 + e     /*\x*\-1 + \-1 + e    / / + \-1 + e    /*e    /*e      + 6*t *x *\-1 + e     /*e     *e       + 12*t*x *\-1 + e     /*\1 - \-1 + e    /  + t*e       + t*\-1 + e    /*e     + 2*t*x *\-1 + \-1 + e    / / + 4*t*x*\-1 + e    /*e    /*e      + 12*t *x *\-1 + \-1 + e    / /*\-1 + e     /*e      + 18*t *x *\-1 + e     /*\x*\-1 + \-1 + e    / / + \-1 + e    /*e    /*e      + 27*t *x *\-1 + \-1 + e    / /*\-1 + e     /*e      + 36*t *x *\-1 + e    /*e    *e        + 36*t *x *\-1 + \-1 + e    / /*\-1 + e     /*e      - 24*t*x*\-1 + e    /*\-1 + e     /*e    *e      + 6*t *x *\-1 + e    /*\-1 + e     /*e    *e      + 24*t *x *\-1 + e    /*\-1 + e     /*e    *e      + 36*t *x *\-1 + e    /*\-1 + e     /*e    *e     /*e     

$$2 t \left(27 t^{2} x^{6} \left(-1 + e^{- t x^{3}}\right) \left(\left(-1 + e^{- t x}\right)^{2} - 1\right) e^{- t x^{3}} + 81 t^{2} x^{6} \left(\left(-1 + e^{- t x}\right)^{2} - 1\right) e^{- 2 t x^{3}} + 36 t^{2} x^{5} \left(-1 + e^{- t x^{3}}\right) \left(\left(-1 + e^{- t x}\right)^{2} - 1\right) e^{- t x^{3}} + 36 t^{2} x^{5} \left(\left(-1 + e^{- t x}\right)^{2} - 1\right) e^{- 2 t x^{3}} + 36 t^{2} x^{4} \left(-1 + e^{- t x}\right) \left(-1 + e^{- t x^{3}}\right) e^{- t x} e^{- t x^{3}} + 36 t^{2} x^{4} \left(-1 + e^{- t x}\right) e^{- t x} e^{- 2 t x^{3}} + 18 t^{2} x^{4} \left(-1 + e^{- t x^{3}}\right) \left(x \left(\left(-1 + e^{- t x}\right)^{2} - 1\right) + \left(-1 + e^{- t x}\right) e^{- t x}\right) e^{- t x^{3}} + 12 t^{2} x^{4} \left(-1 + e^{- t x^{3}}\right) \left(\left(-1 + e^{- t x}\right)^{2} - 1\right) e^{- t x^{3}} + 18 t^{2} x^{4} \left(x \left(\left(-1 + e^{- t x}\right)^{2} - 1\right) + \left(-1 + e^{- t x}\right) e^{- t x}\right) e^{- 2 t x^{3}} + 24 t^{2} x^{3} \left(-1 + e^{- t x}\right) \left(-1 + e^{- t x^{3}}\right) e^{- t x} e^{- t x^{3}} + 6 t^{2} x^{2} \left(-1 + e^{- t x}\right) \left(-1 + e^{- t x^{3}}\right) e^{- t x} e^{- t x^{3}} + 6 t^{2} x^{2} \left(-1 + e^{- t x^{3}}\right) e^{- 2 t x} e^{- t x^{3}} - 54 t x^{3} \left(-1 + e^{- t x^{3}}\right) \left(\left(-1 + e^{- t x}\right)^{2} - 1\right) e^{- t x^{3}} - 54 t x^{3} \left(\left(-1 + e^{- t x}\right)^{2} - 1\right) e^{- 2 t x^{3}} - 30 t x^{2} \left(-1 + e^{- t x^{3}}\right) \left(\left(-1 + e^{- t x}\right)^{2} - 1\right) e^{- t x^{3}} + 12 t x^{2} \left(-1 + e^{- t x^{3}}\right) \left(2 t x^{2} \left(\left(-1 + e^{- t x}\right)^{2} - 1\right) + 4 t x \left(-1 + e^{- t x}\right) e^{- t x} + t \left(-1 + e^{- t x}\right) e^{- t x} + t e^{- 2 t x} - \left(-1 + e^{- t x}\right)^{2} + 1\right) e^{- t x^{3}} - 24 t x \left(-1 + e^{- t x}\right) \left(-1 + e^{- t x^{3}}\right) e^{- t x} e^{- t x^{3}} - 12 t x \left(-1 + e^{- t x^{3}}\right) \left(x \left(\left(-1 + e^{- t x}\right)^{2} - 1\right) + \left(-1 + e^{- t x}\right) e^{- t x}\right) e^{- t x^{3}} + t \left(\left(-1 + e^{- t x^{3}}\right)^{2} - 1\right) \left(4 t x^{3} \left(\left(-1 + e^{- t x}\right)^{2} - 1\right) + 12 t x^{2} \left(-1 + e^{- t x}\right) e^{- t x} + 6 t x \left(-1 + e^{- t x}\right) e^{- t x} + 6 t x e^{- 2 t x} + t \left(-1 + e^{- t x}\right) e^{- t x} + 3 t e^{- 2 t x} - 6 x \left(\left(-1 + e^{- t x}\right)^{2} - 1\right) - 6 \left(-1 + e^{- t x}\right) e^{- t x}\right) + 6 \left(-1 + e^{- t x^{3}}\right) \left(\left(-1 + e^{- t x}\right)^{2} - 1\right) e^{- t x^{3}}\right) e^{- t x^{2}}$$

Упростить