Производная x/(sqrt(1+x^2))

Вы ввели

     x     
-----------
   ________
  /      2 
\/  1 + x  

$$\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = \sqrt{x^{2} + 1}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = x^{2} + 1$.

   2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x^{2} + 1\right)$:

      1. дифференцируем $x^{2} + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         В результате: $2 x$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2} + 1} \left(- \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \sqrt{x^{2} + 1}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$

Первая производная

                    2    
     1             x     
----------- - -----------
   ________           3/2
  /      2    /     2\   
\/  1 + x     \1 + x /   

$$- \frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$

Вторая производная

    /        2  \
    |       x   |
3*x*|-1 + ------|
    |          2|
    \     1 + x /
-----------------
           3/2   
   /     2\      
   \1 + x /      

$$\frac{3 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)$$

Третья производная

  /           4         2 \
  |        5*x       6*x  |
3*|-1 - --------- + ------|
  |             2        2|
  |     /     2\    1 + x |
  \     \1 + x /          /
---------------------------
                3/2        
        /     2\           
        \1 + x /           

$$\frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} \left(- \frac{15 x^{4}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{18 x^{2}}{x^{2} + 1} - 3\right)$$