Производная (-2*tan(3*x)+6*cot(3*x))*(1/12)+3*cos(4*x)

Вы ввели

-2*tan(3*x) + 6*cot(3*x)             
------------------------ + 3*cos(4*x)
           12                        

$$\frac{1}{12} \left(- 2 \tan{\left (3 x \right )} + 6 \cot{\left (3 x \right )}\right) + 3 \cos{\left (4 x \right )}$$

Подробное решение

1. дифференцируем $\frac{1}{12} \left(- 2 \tan{\left (3 x \right )} + 6 \cot{\left (3 x \right )}\right) + 3 \cos{\left (4 x \right )}$ почленно:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. дифференцируем $- 2 \tan{\left (3 x \right )} + 6 \cot{\left (3 x \right )}$ почленно:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

               Один из способов:

               1. Заменим $u = 3 x$.

               2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

               3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(3 x\right)$:

                  1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                     1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                     Таким образом, в результате: $3$

                  В результате последовательности правил:

                  $\frac{3}{\cos^{2}{\left (3 x \right )}}$

            Таким образом, в результате: $- \frac{1}{\cos^{2}{\left (3 x \right )}} \left(6 \sin^{2}{\left (3 x \right )} + 6 \cos^{2}{\left (3 x \right )}\right)$

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

               Один из способов:

               1. Заменим $u = 3 x$.

               2. $\frac{d}{d u} \cot{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (u \right )}}$

               3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(3 x\right)$:

                  1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                     1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                     Таким образом, в результате: $3$

                  В результате последовательности правил:

                  $- \frac{3}{\sin^{2}{\left (3 x \right )}}$

            Таким образом, в результате: $- \frac{18 \sin^{2}{\left (3 x \right )} + 18 \cos^{2}{\left (3 x \right )}}{\cos^{2}{\left (3 x \right )} \tan^{2}{\left (3 x \right )}}$

         В результате: $- \frac{1}{\cos^{2}{\left (3 x \right )}} \left(6 \sin^{2}{\left (3 x \right )} + 6 \cos^{2}{\left (3 x \right )}\right) - \frac{18 \sin^{2}{\left (3 x \right )} + 18 \cos^{2}{\left (3 x \right )}}{\cos^{2}{\left (3 x \right )} \tan^{2}{\left (3 x \right )}}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{1}{6 \cos^{2}{\left (3 x \right )}} \left(3 \sin^{2}{\left (3 x \right )} + 3 \cos^{2}{\left (3 x \right )}\right) - \frac{3 \sin^{2}{\left (3 x \right )} + 3 \cos^{2}{\left (3 x \right )}}{2 \cos^{2}{\left (3 x \right )} \tan^{2}{\left (3 x \right )}}$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = 4 x$.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(4 x\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $4$

         В результате последовательности правил:

         $- 4 \sin{\left (4 x \right )}$

      Таким образом, в результате: $- 12 \sin{\left (4 x \right )}$

   В результате: $- \frac{1}{6 \cos^{2}{\left (3 x \right )}} \left(3 \sin^{2}{\left (3 x \right )} + 3 \cos^{2}{\left (3 x \right )}\right) - \frac{3 \sin^{2}{\left (3 x \right )} + 3 \cos^{2}{\left (3 x \right )}}{2 \cos^{2}{\left (3 x \right )} \tan^{2}{\left (3 x \right )}} - 12 \sin{\left (4 x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{- \cos{\left (6 x \right )} + 1} \left(- 6 \sin{\left (2 x \right )} - 12 \sin{\left (4 x \right )} + 6 \sin{\left (10 x \right )} - \tan^{2}{\left (3 x \right )} - 3\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{- \cos{\left (6 x \right )} + 1} \left(- 6 \sin{\left (2 x \right )} - 12 \sin{\left (4 x \right )} + 6 \sin{\left (10 x \right )} - \tan^{2}{\left (3 x \right )} - 3\right)$

Первая производная

                        2           2     
                   3*cot (3*x)   tan (3*x)
-2 - 12*sin(4*x) - ----------- - ---------
                        2            2    

$$- 12 \sin{\left (4 x \right )} - \frac{1}{2} \tan^{2}{\left (3 x \right )} - \frac{3}{2} \cot^{2}{\left (3 x \right )} - 2$$

Вторая производная

  /               /       2     \              /       2     \         \
3*\-16*cos(4*x) - \1 + tan (3*x)/*tan(3*x) + 3*\1 + cot (3*x)/*cot(3*x)/

$$3 \left(- \left(\tan^{2}{\left (3 x \right )} + 1\right) \tan{\left (3 x \right )} + 3 \left(\cot^{2}{\left (3 x \right )} + 1\right) \cot{\left (3 x \right )} - 16 \cos{\left (4 x \right )}\right)$$

Третья производная

  /                   2                    2                                                                           \
  |    /       2     \      /       2     \                        2      /       2     \        2      /       2     \|
3*\- 9*\1 + cot (3*x)/  - 3*\1 + tan (3*x)/  + 64*sin(4*x) - 18*cot (3*x)*\1 + cot (3*x)/ - 6*tan (3*x)*\1 + tan (3*x)//

$$3 \left(- 3 \left(\tan^{2}{\left (3 x \right )} + 1\right)^{2} - 6 \left(\tan^{2}{\left (3 x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (3 x \right )} - 9 \left(\cot^{2}{\left (3 x \right )} + 1\right)^{2} - 18 \left(\cot^{2}{\left (3 x \right )} + 1\right) \cot^{2}{\left (3 x \right )} + 64 \sin{\left (4 x \right )}\right)$$