Производная (t*sin(t))/(-sin(t)-t*cos(t))

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

     t*sin(t)     
------------------
-sin(t) - t*cos(t)

$$\frac{t \sin{\left (t \right )}}{- t \cos{\left (t \right )} - \sin{\left (t \right )}}$$

Подробное решение

[TeX]

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d t}\left(\frac{f{\left (t \right )}}{g{\left (t \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (t \right )}} \left(- f{\left (t \right )} \frac{d}{d t} g{\left (t \right )} + g{\left (t \right )} \frac{d}{d t} f{\left (t \right )}\right)$

   $f{\left (t \right )} = t \sin{\left (t \right )}$ и $g{\left (t \right )} = - t \cos{\left (t \right )} - \sin{\left (t \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d t}\left(f{\left (t \right )} g{\left (t \right )}\right) = f{\left (t \right )} \frac{d}{d t} g{\left (t \right )} + g{\left (t \right )} \frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$

      $f{\left (t \right )} = t$; найдём $\frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

      $g{\left (t \right )} = \sin{\left (t \right )}$; найдём $\frac{d}{d t} g{\left (t \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d t} \sin{\left (t \right )} = \cos{\left (t \right )}$

      В результате: $t \cos{\left (t \right )} + \sin{\left (t \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d t} g{\left (t \right )}$:

   1. дифференцируем $- t \cos{\left (t \right )} - \sin{\left (t \right )}$ почленно:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d t} \sin{\left (t \right )} = \cos{\left (t \right )}$

         Таким образом, в результате: $- \cos{\left (t \right )}$

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Применяем правило производной умножения:

            $\frac{d}{d t}\left(f{\left (t \right )} g{\left (t \right )}\right) = f{\left (t \right )} \frac{d}{d t} g{\left (t \right )} + g{\left (t \right )} \frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$

            $f{\left (t \right )} = t$; найдём $\frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$:

            1. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

            $g{\left (t \right )} = \cos{\left (t \right )}$; найдём $\frac{d}{d t} g{\left (t \right )}$:

            1. Производная косинус есть минус синус:

               $\frac{d}{d t} \cos{\left (t \right )} = - \sin{\left (t \right )}$

            В результате: $- t \sin{\left (t \right )} + \cos{\left (t \right )}$

         Таким образом, в результате: $t \sin{\left (t \right )} - \cos{\left (t \right )}$

      В результате: $t \sin{\left (t \right )} - 2 \cos{\left (t \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(- t \cos{\left (t \right )} - \sin{\left (t \right )}\right)^{2}} \left(- t \left(t \sin{\left (t \right )} - 2 \cos{\left (t \right )}\right) \sin{\left (t \right )} + \left(- t \cos{\left (t \right )} - \sin{\left (t \right )}\right) \left(t \cos{\left (t \right )} + \sin{\left (t \right )}\right)\right)$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{t^{2} + \sin^{2}{\left (t \right )}}{\left(t \cos{\left (t \right )} + \sin{\left (t \right )}\right)^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{t^{2} + \sin^{2}{\left (t \right )}}{\left(t \cos{\left (t \right )} + \sin{\left (t \right )}\right)^{2}}$

Первая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

t*cos(t) + sin(t)    t*(2*cos(t) - t*sin(t))*sin(t)
------------------ + ------------------------------
-sin(t) - t*cos(t)                           2     
                         (-sin(t) - t*cos(t))      

$$\frac{t \left(- t \sin{\left (t \right )} + 2 \cos{\left (t \right )}\right) \sin{\left (t \right )}}{\left(- t \cos{\left (t \right )} - \sin{\left (t \right )}\right)^{2}} + \frac{t \cos{\left (t \right )} + \sin{\left (t \right )}}{- t \cos{\left (t \right )} - \sin{\left (t \right )}}$$

Упростить

Вторая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

 /                                                                                                                             2       \ 
 |                                                                                                   2*t*(-2*cos(t) + t*sin(t)) *sin(t)| 
-|(-2*cos(t) + t*sin(t))*sin(t) + t*(-2*cos(t) + t*sin(t))*cos(t) + t*(3*sin(t) + t*cos(t))*sin(t) + ----------------------------------| 
 \                                                                                                           t*cos(t) + sin(t)         / 
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                              2                                                          
                                                           (t*cos(t) + sin(t))                                                           

$$- \frac{1}{\left(t \cos{\left (t \right )} + \sin{\left (t \right )}\right)^{2}} \left(\frac{2 t \left(t \sin{\left (t \right )} - 2 \cos{\left (t \right )}\right)^{2} \sin{\left (t \right )}}{t \cos{\left (t \right )} + \sin{\left (t \right )}} + t \left(t \sin{\left (t \right )} - 2 \cos{\left (t \right )}\right) \cos{\left (t \right )} + t \left(t \cos{\left (t \right )} + 3 \sin{\left (t \right )}\right) \sin{\left (t \right )} + \left(t \sin{\left (t \right )} - 2 \cos{\left (t \right )}\right) \sin{\left (t \right )}\right)$$

Упростить

Третья производная

[TeX]

[pretty]

[text]

                                                                                                                                                                2                                                                       3                                    2                                                                 
                                                                                                                                        4*(-2*cos(t) + t*sin(t)) *sin(t)                                      6*t*(-2*cos(t) + t*sin(t)) *sin(t)   4*t*(-2*cos(t) + t*sin(t)) *cos(t)   6*t*(-2*cos(t) + t*sin(t))*(3*sin(t) + t*cos(t))*sin(t)
-2*(-2*cos(t) + t*sin(t))*cos(t) - 2*(3*sin(t) + t*cos(t))*sin(t) + t*(-4*cos(t) + t*sin(t))*sin(t) + t*(-2*cos(t) + t*sin(t))*sin(t) - -------------------------------- - 2*t*(3*sin(t) + t*cos(t))*cos(t) - ---------------------------------- - ---------------------------------- - -------------------------------------------------------
                                                                                                                                               t*cos(t) + sin(t)                                                                        2                  t*cos(t) + sin(t)                               t*cos(t) + sin(t)                   
                                                                                                                                                                                                                     (t*cos(t) + sin(t))                                                                                                       
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                                                 2                                                                                                                                                             
                                                                                                                                                              (t*cos(t) + sin(t))                                                                                                                                                              

$$\frac{1}{\left(t \cos{\left (t \right )} + \sin{\left (t \right )}\right)^{2}} \left(t \left(t \sin{\left (t \right )} - 4 \cos{\left (t \right )}\right) \sin{\left (t \right )} - \frac{6 t \left(t \sin{\left (t \right )} - 2 \cos{\left (t \right )}\right)^{3} \sin{\left (t \right )}}{\left(t \cos{\left (t \right )} + \sin{\left (t \right )}\right)^{2}} - \frac{4 t \left(t \sin{\left (t \right )} - 2 \cos{\left (t \right )}\right)^{2} \cos{\left (t \right )}}{t \cos{\left (t \right )} + \sin{\left (t \right )}} + t \left(t \sin{\left (t \right )} - 2 \cos{\left (t \right )}\right) \sin{\left (t \right )} - \frac{6 t \sin{\left (t \right )}}{t \cos{\left (t \right )} + \sin{\left (t \right )}} \left(t \sin{\left (t \right )} - 2 \cos{\left (t \right )}\right) \left(t \cos{\left (t \right )} + 3 \sin{\left (t \right )}\right) - 2 t \left(t \cos{\left (t \right )} + 3 \sin{\left (t \right )}\right) \cos{\left (t \right )} - \frac{4 \left(t \sin{\left (t \right )} - 2 \cos{\left (t \right )}\right)^{2} \sin{\left (t \right )}}{t \cos{\left (t \right )} + \sin{\left (t \right )}} - 2 \left(t \sin{\left (t \right )} - 2 \cos{\left (t \right )}\right) \cos{\left (t \right )} - 2 \left(t \cos{\left (t \right )} + 3 \sin{\left (t \right )}\right) \sin{\left (t \right )}\right)$$

Упростить