Производная (t*sin(t))/(-sin(t)-t*cos(t))

()'

↑ Функция f () ? - производная -го порядка

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
     t*sin(t)     
------------------
-sin(t) - t*cos(t)
$$\frac{t \sin{\left (t \right )}}{- t \cos{\left (t \right )} - \sin{\left (t \right )}}$$
Подробное решение
[TeX]
  1. Применим правило производной частного:

    и .

    Чтобы найти :

    1. Применяем правило производной умножения:

      ; найдём :

      1. В силу правила, применим: получим

      ; найдём :

      1. Производная синуса есть косинус:

      В результате:

    Чтобы найти :

    1. дифференцируем почленно:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

        1. Производная синуса есть косинус:

        Таким образом, в результате:

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

        1. Применяем правило производной умножения:

          ; найдём :

          1. В силу правила, применим: получим

          ; найдём :

          1. Производная косинус есть минус синус:

          В результате:

        Таким образом, в результате:

      В результате:

    Теперь применим правило производной деления:

  2. Теперь упростим:


Ответ:

График
Первая производная
[TeX]
[pretty]
[text]
t*cos(t) + sin(t)    t*(2*cos(t) - t*sin(t))*sin(t)
------------------ + ------------------------------
-sin(t) - t*cos(t)                           2     
                         (-sin(t) - t*cos(t))      
$$\frac{t \left(- t \sin{\left (t \right )} + 2 \cos{\left (t \right )}\right) \sin{\left (t \right )}}{\left(- t \cos{\left (t \right )} - \sin{\left (t \right )}\right)^{2}} + \frac{t \cos{\left (t \right )} + \sin{\left (t \right )}}{- t \cos{\left (t \right )} - \sin{\left (t \right )}}$$
Вторая производная
[TeX]
[pretty]
[text]
 /                                                                                                                             2       \ 
 |                                                                                                   2*t*(-2*cos(t) + t*sin(t)) *sin(t)| 
-|(-2*cos(t) + t*sin(t))*sin(t) + t*(-2*cos(t) + t*sin(t))*cos(t) + t*(3*sin(t) + t*cos(t))*sin(t) + ----------------------------------| 
 \                                                                                                           t*cos(t) + sin(t)         / 
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                              2                                                          
                                                           (t*cos(t) + sin(t))                                                           
$$- \frac{1}{\left(t \cos{\left (t \right )} + \sin{\left (t \right )}\right)^{2}} \left(\frac{2 t \left(t \sin{\left (t \right )} - 2 \cos{\left (t \right )}\right)^{2} \sin{\left (t \right )}}{t \cos{\left (t \right )} + \sin{\left (t \right )}} + t \left(t \sin{\left (t \right )} - 2 \cos{\left (t \right )}\right) \cos{\left (t \right )} + t \left(t \cos{\left (t \right )} + 3 \sin{\left (t \right )}\right) \sin{\left (t \right )} + \left(t \sin{\left (t \right )} - 2 \cos{\left (t \right )}\right) \sin{\left (t \right )}\right)$$
Третья производная
[TeX]
[pretty]
[text]
                                                                                                                                                                2                                                                       3                                    2                                                                 
                                                                                                                                        4*(-2*cos(t) + t*sin(t)) *sin(t)                                      6*t*(-2*cos(t) + t*sin(t)) *sin(t)   4*t*(-2*cos(t) + t*sin(t)) *cos(t)   6*t*(-2*cos(t) + t*sin(t))*(3*sin(t) + t*cos(t))*sin(t)
-2*(-2*cos(t) + t*sin(t))*cos(t) - 2*(3*sin(t) + t*cos(t))*sin(t) + t*(-4*cos(t) + t*sin(t))*sin(t) + t*(-2*cos(t) + t*sin(t))*sin(t) - -------------------------------- - 2*t*(3*sin(t) + t*cos(t))*cos(t) - ---------------------------------- - ---------------------------------- - -------------------------------------------------------
                                                                                                                                               t*cos(t) + sin(t)                                                                        2                  t*cos(t) + sin(t)                               t*cos(t) + sin(t)                   
                                                                                                                                                                                                                     (t*cos(t) + sin(t))                                                                                                       
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                                                 2                                                                                                                                                             
                                                                                                                                                              (t*cos(t) + sin(t))                                                                                                                                                              
$$\frac{1}{\left(t \cos{\left (t \right )} + \sin{\left (t \right )}\right)^{2}} \left(t \left(t \sin{\left (t \right )} - 4 \cos{\left (t \right )}\right) \sin{\left (t \right )} - \frac{6 t \left(t \sin{\left (t \right )} - 2 \cos{\left (t \right )}\right)^{3} \sin{\left (t \right )}}{\left(t \cos{\left (t \right )} + \sin{\left (t \right )}\right)^{2}} - \frac{4 t \left(t \sin{\left (t \right )} - 2 \cos{\left (t \right )}\right)^{2} \cos{\left (t \right )}}{t \cos{\left (t \right )} + \sin{\left (t \right )}} + t \left(t \sin{\left (t \right )} - 2 \cos{\left (t \right )}\right) \sin{\left (t \right )} - \frac{6 t \sin{\left (t \right )}}{t \cos{\left (t \right )} + \sin{\left (t \right )}} \left(t \sin{\left (t \right )} - 2 \cos{\left (t \right )}\right) \left(t \cos{\left (t \right )} + 3 \sin{\left (t \right )}\right) - 2 t \left(t \cos{\left (t \right )} + 3 \sin{\left (t \right )}\right) \cos{\left (t \right )} - \frac{4 \left(t \sin{\left (t \right )} - 2 \cos{\left (t \right )}\right)^{2} \sin{\left (t \right )}}{t \cos{\left (t \right )} + \sin{\left (t \right )}} - 2 \left(t \sin{\left (t \right )} - 2 \cos{\left (t \right )}\right) \cos{\left (t \right )} - 2 \left(t \cos{\left (t \right )} + 3 \sin{\left (t \right )}\right) \sin{\left (t \right )}\right)$$