Производная (a+x)*sqrt(a-x)

          _______
(a + x)*\/ a - x 

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = a + x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $a + x$ почленно:

      1. Производная постоянной $a$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $1$

   $g{\left (x \right )} = \sqrt{a - x}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = a - x$.

   2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial x}\left(a - x\right)$:

      1. дифференцируем $a - x$ почленно:

         1. Производная постоянной $a$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $-1$

         В результате: $-1$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{1}{2 \sqrt{a - x}}$

   В результате: $\sqrt{a - x} - \frac{a + x}{2 \sqrt{a - x}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{a - 3 x}{2 \sqrt{a - x}}$

Ответ:

$\frac{a - 3 x}{2 \sqrt{a - x}}$

  _______      a + x   
\/ a - x  - -----------
                _______
            2*\/ a - x 

 /      a + x  \ 
-|1 + ---------| 
 \    4*(a - x)/ 
-----------------
      _______    
    \/ a - x     

   /    a + x\
-3*|2 + -----|
   \    a - x/
--------------
          3/2 
 8*(a - x)