Производная exp(2*t)*cos(2*t)+exp(2*t)*sin(2*t)

Вы ввели

 2*t             2*t         
e   *cos(2*t) + e   *sin(2*t)

$$e^{2 t} \sin{\left (2 t \right )} + e^{2 t} \cos{\left (2 t \right )}$$

Подробное решение

1. дифференцируем $e^{2 t} \sin{\left (2 t \right )} + e^{2 t} \cos{\left (2 t \right )}$ почленно:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d t}\left(f{\left (t \right )} g{\left (t \right )}\right) = f{\left (t \right )} \frac{d}{d t} g{\left (t \right )} + g{\left (t \right )} \frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$

      $f{\left (t \right )} = e^{2 t}$; найдём $\frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$:

      1. Заменим $u = 2 t$.

      2. Производная $e^{u}$ само оно.

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t}\left(2 t\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $2$

         В результате последовательности правил:

         $2 e^{2 t}$

      $g{\left (t \right )} = \cos{\left (2 t \right )}$; найдём $\frac{d}{d t} g{\left (t \right )}$:

      1. Заменим $u = 2 t$.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t}\left(2 t\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $2$

         В результате последовательности правил:

         $- 2 \sin{\left (2 t \right )}$

      В результате: $- 2 e^{2 t} \sin{\left (2 t \right )} + 2 e^{2 t} \cos{\left (2 t \right )}$

   2. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d t}\left(f{\left (t \right )} g{\left (t \right )}\right) = f{\left (t \right )} \frac{d}{d t} g{\left (t \right )} + g{\left (t \right )} \frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$

      $f{\left (t \right )} = e^{2 t}$; найдём $\frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$:

      1. Заменим $u = 2 t$.

      2. Производная $e^{u}$ само оно.

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t}\left(2 t\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $2$

         В результате последовательности правил:

         $2 e^{2 t}$

      $g{\left (t \right )} = \sin{\left (2 t \right )}$; найдём $\frac{d}{d t} g{\left (t \right )}$:

      1. Заменим $u = 2 t$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t}\left(2 t\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $2$

         В результате последовательности правил:

         $2 \cos{\left (2 t \right )}$

      В результате: $2 e^{2 t} \sin{\left (2 t \right )} + 2 e^{2 t} \cos{\left (2 t \right )}$

   В результате: $4 e^{2 t} \cos{\left (2 t \right )}$

---

Ответ:

$4 e^{2 t} \cos{\left (2 t \right )}$

Первая производная

            2*t
4*cos(2*t)*e   

$$4 e^{2 t} \cos{\left (2 t \right )}$$

Вторая производная

                          2*t
8*(-sin(2*t) + cos(2*t))*e   

$$8 \left(- \sin{\left (2 t \right )} + \cos{\left (2 t \right )}\right) e^{2 t}$$

Третья производная

     2*t         
-32*e   *sin(2*t)

$$- 32 e^{2 t} \sin{\left (2 t \right )}$$

График