Производная t^2*sqrt(2*t-1)

Вы ввели

 2   _________
t *\/ 2*t - 1 

$$t^{2} \sqrt{2 t - 1}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d t}\left(f{\left (t \right )} g{\left (t \right )}\right) = f{\left (t \right )} \frac{d}{d t} g{\left (t \right )} + g{\left (t \right )} \frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$

   $f{\left (t \right )} = t^{2}$; найдём $\frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $t^{2}$ получим $2 t$

   $g{\left (t \right )} = \sqrt{2 t - 1}$; найдём $\frac{d}{d t} g{\left (t \right )}$:

   1. Заменим $u = 2 t - 1$.

   2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t}\left(2 t - 1\right)$:

      1. дифференцируем $2 t - 1$ почленно:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $2$

         2. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

         В результате: $2$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{\sqrt{2 t - 1}}$

   В результате: $\frac{t^{2}}{\sqrt{2 t - 1}} + 2 t \sqrt{2 t - 1}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{t \left(5 t - 2\right)}{\sqrt{2 t - 1}}$

---

Ответ:

$\frac{t \left(5 t - 2\right)}{\sqrt{2 t - 1}}$

Первая производная

      2                      
     t              _________
----------- + 2*t*\/ 2*t - 1 
  _________                  
\/ 2*t - 1                   

$$\frac{t^{2}}{\sqrt{2 t - 1}} + 2 t \sqrt{2 t - 1}$$

Вторая производная

                        2                    
    __________         t             4*t     
2*\/ -1 + 2*t  - ------------- + ------------
                           3/2     __________
                 (-1 + 2*t)      \/ -1 + 2*t 

$$- \frac{t^{2}}{\left(2 t - 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 t}{\sqrt{2 t - 1}} + 2 \sqrt{2 t - 1}$$

Третья производная

  /          2               \
  |         t          2*t   |
3*|2 + ----------- - --------|
  |              2   -1 + 2*t|
  \    (-1 + 2*t)            /
------------------------------
           __________         
         \/ -1 + 2*t          

$$\frac{1}{\sqrt{2 t - 1}} \left(\frac{3 t^{2}}{\left(2 t - 1\right)^{2}} - \frac{6 t}{2 t - 1} + 6\right)$$

График