Производная ((2*x^2+8)^7)*x^3

Вы ввели

          7   
/   2    \   3
\2*x  + 8/ *x 

$$x^{3} \left(2 x^{2} + 8\right)^{7}$$

  /          7   \
d |/   2    \   3|
--\\2*x  + 8/ *x /
dx                

$$\frac{d}{d x} x^{3} \left(2 x^{2} + 8\right)^{7}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \left(2 x^{2} + 8\right)^{7}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 2 x^{2} + 8$.

   2. В силу правила, применим: $u^{7}$ получим $7 u^{6}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(2 x^{2} + 8\right)$:

      1. дифференцируем $2 x^{2} + 8$ почленно:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

            Таким образом, в результате: $4 x$

         2. Производная постоянной $8$ равна нулю.

         В результате: $4 x$

      В результате последовательности правил:

      $28 x \left(2 x^{2} + 8\right)^{6}$

   $g{\left(x \right)} = x^{3}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

   В результате: $28 x^{4} \left(2 x^{2} + 8\right)^{6} + 3 x^{2} \left(2 x^{2} + 8\right)^{7}$

2. Теперь упростим:

   $x^{2} \left(x^{2} + 4\right)^{6} \cdot \left(2176 x^{2} + 1536\right)$

---

Ответ:

$x^{2} \left(x^{2} + 4\right)^{6} \cdot \left(2176 x^{2} + 1536\right)$

Первая производная

               7                   6
   2 /   2    \        4 /   2    \ 
3*x *\2*x  + 8/  + 28*x *\2*x  + 8/ 

$$28 x^{4} \left(2 x^{2} + 8\right)^{6} + 3 x^{2} \left(2 x^{2} + 8\right)^{7}$$

Вторая производная

              5 /          2                                    \
      /     2\  |  /     2\       2 /        2\       2 /     2\|
256*x*\4 + x / *\3*\4 + x /  + 7*x *\4 + 13*x / + 42*x *\4 + x //

$$256 x \left(x^{2} + 4\right)^{5} \cdot \left(42 x^{2} \left(x^{2} + 4\right) + 7 x^{2} \cdot \left(13 x^{2} + 4\right) + 3 \left(x^{2} + 4\right)^{2}\right)$$

Третья производная

            4 /        3                                      2                             \
    /     2\  |/     2\        4 /         2\       2 /     2\        2 /     2\ /        2\|
768*\4 + x / *\\4 + x /  + 28*x *\12 + 13*x / + 42*x *\4 + x /  + 21*x *\4 + x /*\4 + 13*x //

$$768 \left(x^{2} + 4\right)^{4} \cdot \left(28 x^{4} \cdot \left(13 x^{2} + 12\right) + 42 x^{2} \left(x^{2} + 4\right)^{2} + 21 x^{2} \left(x^{2} + 4\right) \left(13 x^{2} + 4\right) + \left(x^{2} + 4\right)^{3}\right)$$

График