Производная e^x*cos(4*x)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

 x         
E *cos(4*x)

$$e^{x} \cos{\left (4 x \right )}$$

Подробное решение

[TeX]

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная $e^{x}$ само оно.

   $g{\left (x \right )} = \cos{\left (4 x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = 4 x$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(4 x\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $4$

      В результате последовательности правил:

      $- 4 \sin{\left (4 x \right )}$

   В результате: $- 4 e^{x} \sin{\left (4 x \right )} + e^{x} \cos{\left (4 x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\left(- 4 \sin{\left (4 x \right )} + \cos{\left (4 x \right )}\right) e^{x}$

---

Ответ:

$\left(- 4 \sin{\left (4 x \right )} + \cos{\left (4 x \right )}\right) e^{x}$

Первая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

          x      x         
cos(4*x)*e  - 4*e *sin(4*x)

$$- 4 e^{x} \sin{\left (4 x \right )} + e^{x} \cos{\left (4 x \right )}$$

Упростить

Вторая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

                             x
-(8*sin(4*x) + 15*cos(4*x))*e 

$$- \left(8 \sin{\left (4 x \right )} + 15 \cos{\left (4 x \right )}\right) e^{x}$$

Упростить

Третья производная

[TeX]

[pretty]

[text]

                              x
(-47*cos(4*x) + 52*sin(4*x))*e 

$$\left(52 \sin{\left (4 x \right )} - 47 \cos{\left (4 x \right )}\right) e^{x}$$

Упростить