Производная e^x*cos(4*x)

Вы ввели

 x         
e *cos(4*x)

$$e^{x} \cos{\left(4 x \right)}$$

d / x         \
--\e *cos(4*x)/
dx             

$$\frac{d}{d x} e^{x} \cos{\left(4 x \right)}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная $e^{x}$ само оно.

   $g{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 4 x$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 4 x$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $4$

      В результате последовательности правил:

      $- 4 \sin{\left(4 x \right)}$

   В результате: $- 4 e^{x} \sin{\left(4 x \right)} + e^{x} \cos{\left(4 x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $\left(- 4 \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}\right) e^{x}$

---

Ответ:

$\left(- 4 \sin{\left(4 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}\right) e^{x}$

Первая производная

          x      x         
cos(4*x)*e  - 4*e *sin(4*x)

$$- 4 e^{x} \sin{\left(4 x \right)} + e^{x} \cos{\left(4 x \right)}$$

Вторая производная

                             x
-(8*sin(4*x) + 15*cos(4*x))*e 

$$- \left(8 \sin{\left(4 x \right)} + 15 \cos{\left(4 x \right)}\right) e^{x}$$

Третья производная

                              x
(-47*cos(4*x) + 52*sin(4*x))*e 

$$\left(52 \sin{\left(4 x \right)} - 47 \cos{\left(4 x \right)}\right) e^{x}$$

График