Производная x^3/(x^2-4)

Вы ввели

   3  
  x   
------
 2    
x  - 4

$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 4}$$

  /   3  \
d |  x   |
--|------|
dx| 2    |
  \x  - 4/

$$\frac{d}{d x} \frac{x^{3}}{x^{2} - 4}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x^{3}$ и $g{\left(x \right)} = x^{2} - 4$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $x^{2} - 4$ почленно:

      1. Производная постоянной $-4$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      В результате: $2 x$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{- 2 x^{4} + 3 x^{2} \left(x^{2} - 4\right)}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x^{2} \left(x^{2} - 12\right)}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2} \left(x^{2} - 12\right)}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}}$

Первая производная

        4         2 
     2*x       3*x  
- --------- + ------
          2    2    
  / 2    \    x  - 4
  \x  - 4/          

$$- \frac{2 x^{4}}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 4}$$

Вторая производная

    /                 /          2 \\
    |               2 |       4*x  ||
    |              x *|-1 + -------||
    |         2       |           2||
    |      6*x        \     -4 + x /|
2*x*|3 - ------- + -----------------|
    |          2              2     |
    \    -4 + x         -4 + x      /
-------------------------------------
                     2               
               -4 + x                

$$\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 4} + 3\right)}{x^{2} - 4}$$

Третья производная

  /                   /          2 \        /          2 \\
  |                 4 |       2*x  |      2 |       4*x  ||
  |              4*x *|-1 + -------|   3*x *|-1 + -------||
  |         2         |           2|        |           2||
  |      6*x          \     -4 + x /        \     -4 + x /|
6*|1 - ------- - ------------------- + -------------------|
  |          2                 2                   2      |
  |    -4 + x         /      2\              -4 + x       |
  \                   \-4 + x /                           /
-----------------------------------------------------------
                                2                          
                          -4 + x                           

$$\frac{6 \left(- \frac{4 x^{4} \cdot \left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} + \frac{3 x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} - \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 4} + 1\right)}{x^{2} - 4}$$

График