Производная x^3/(x^2-4)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

   3  
  x   
------
 2    
x  - 4

$$\frac{x^{3}}{x^{2} - 4}$$

Подробное решение

[TeX]

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x^{3}$ и $g{\left (x \right )} = x^{2} - 4$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x^{2} - 4$ почленно:

      1. Производная постоянной $-4$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      В результате: $2 x$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} \left(- 2 x^{4} + 3 x^{2} \left(x^{2} - 4\right)\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x^{2} \left(x^{2} - 12\right)}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2} \left(x^{2} - 12\right)}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}}$

Первая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

        4         2 
     2*x       3*x  
- --------- + ------
          2    2    
  / 2    \    x  - 4
  \x  - 4/          

$$- \frac{2 x^{4}}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{2} - 4}$$

Упростить

Вторая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

    /         2          4   \
    |      7*x        4*x    |
2*x*|3 - ------- + ----------|
    |          2            2|
    |    -4 + x    /      2\ |
    \              \-4 + x / /
------------------------------
                 2            
           -4 + x             

$$\frac{2 x}{x^{2} - 4} \left(\frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} - \frac{7 x^{2}}{x^{2} - 4} + 3\right)$$

Упростить

Третья производная

[TeX]

[pretty]

[text]

  /         2          6            4   \
  |      9*x        8*x         16*x    |
6*|1 - ------- - ---------- + ----------|
  |          2            3            2|
  |    -4 + x    /      2\    /      2\ |
  \              \-4 + x /    \-4 + x / /
-----------------------------------------
                       2                 
                 -4 + x                  

$$\frac{1}{x^{2} - 4} \left(- \frac{48 x^{6}}{\left(x^{2} - 4\right)^{3}} + \frac{96 x^{4}}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} - \frac{54 x^{2}}{x^{2} - 4} + 6\right)$$

Упростить