Производная 4*sin(x)+5*tan(x)

Вы ввели

4*sin(x) + 5*tan(x)

$$4 \sin{\left(x \right)} + 5 \tan{\left(x \right)}$$

d                      
--(4*sin(x) + 5*tan(x))
dx                     

$$\frac{d}{d x} \left(4 \sin{\left(x \right)} + 5 \tan{\left(x \right)}\right)$$

Подробное решение

1. дифференцируем $4 \sin{\left(x \right)} + 5 \tan{\left(x \right)}$ почленно:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Таким образом, в результате: $4 \cos{\left(x \right)}$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

      2. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

      Таким образом, в результате: $\frac{5 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   В результате: $\frac{5 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 4 \cos{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{3 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} + 5}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{3 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} + 5}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Первая производная

                    2   
5 + 4*cos(x) + 5*tan (x)

$$4 \cos{\left(x \right)} + 5 \tan^{2}{\left(x \right)} + 5$$

Вторая производная

  /              /       2   \       \
2*\-2*sin(x) + 5*\1 + tan (x)/*tan(x)/

$$2 \cdot \left(5 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)}\right)$$

Третья производная

  /                           2                           \
  |              /       2   \          2    /       2   \|
2*\-2*cos(x) + 5*\1 + tan (x)/  + 10*tan (x)*\1 + tan (x)//

$$2 \cdot \left(5 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} + 10 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}\right)$$

График