Производная n/(n+2)/(n+1)^(1/4)

Вы ввели

 /  n  \ 
 |-----| 
 \n + 2/ 
---------
4 _______
\/ n + 1 

$$\frac{n \frac{1}{n + 2}}{\sqrt[4]{n + 1}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d n}\left(\frac{f{\left (n \right )}}{g{\left (n \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (n \right )}} \left(- f{\left (n \right )} \frac{d}{d n} g{\left (n \right )} + g{\left (n \right )} \frac{d}{d n} f{\left (n \right )}\right)$

   $f{\left (n \right )} = n$ и $g{\left (n \right )} = \sqrt[4]{n + 1} \left(n + 2\right)$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d n} f{\left (n \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $n$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d n} g{\left (n \right )}$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d n}\left(f{\left (n \right )} g{\left (n \right )}\right) = f{\left (n \right )} \frac{d}{d n} g{\left (n \right )} + g{\left (n \right )} \frac{d}{d n} f{\left (n \right )}$

      $f{\left (n \right )} = \sqrt[4]{n + 1}$; найдём $\frac{d}{d n} f{\left (n \right )}$:

      1. Заменим $u = n + 1$.

      2. В силу правила, применим: $\sqrt[4]{u}$ получим $\frac{1}{4 u^{\frac{3}{4}}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d n}\left(n + 1\right)$:

         1. дифференцируем $n + 1$ почленно:

            1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

            2. В силу правила, применим: $n$ получим $1$

            В результате: $1$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{1}{4 \left(n + 1\right)^{\frac{3}{4}}}$

      $g{\left (n \right )} = n + 2$; найдём $\frac{d}{d n} g{\left (n \right )}$:

      1. дифференцируем $n + 2$ почленно:

         1. Производная постоянной $2$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $n$ получим $1$

         В результате: $1$

      В результате: $\sqrt[4]{n + 1} + \frac{n + 2}{4 \left(n + 1\right)^{\frac{3}{4}}}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\sqrt{n + 1} \left(n + 2\right)^{2}} \left(- n \left(\sqrt[4]{n + 1} + \frac{n + 2}{4 \left(n + 1\right)^{\frac{3}{4}}}\right) + \sqrt[4]{n + 1} \left(n + 2\right)\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\left(n + 1\right)^{\frac{5}{4}} \left(n + 2\right)^{2}} \left(- \frac{n}{4} \left(5 n + 6\right) + \left(n + 1\right) \left(n + 2\right)\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{\left(n + 1\right)^{\frac{5}{4}} \left(n + 2\right)^{2}} \left(- \frac{n}{4} \left(5 n + 6\right) + \left(n + 1\right) \left(n + 2\right)\right)$

Первая производная

  1        n                           
----- - --------                       
n + 2          2                       
        (n + 2)             n          
---------------- - --------------------
   4 _______                5/4        
   \/ n + 1        4*(n + 1)   *(n + 2)

$$- \frac{n}{4 \left(n + 1\right)^{\frac{5}{4}} \left(n + 2\right)} + \frac{1}{\sqrt[4]{n + 1}} \left(- \frac{n}{\left(n + 2\right)^{2}} + \frac{1}{n + 2}\right)$$

Упростить

Вторая производная

                /       n  \          n                                    
              2*|-1 + -----|   -1 + -----                                  
      1         \     2 + n/        2 + n       5*n               n        
- --------- + -------------- + ---------- + ----------- + -----------------
  4*(1 + n)       2 + n        4*(1 + n)              2   4*(1 + n)*(2 + n)
                                            16*(1 + n)                     
---------------------------------------------------------------------------
                             4 _______                                     
                             \/ 1 + n *(2 + n)                             

$$\frac{1}{\sqrt[4]{n + 1} \left(n + 2\right)} \left(\frac{n}{4 \left(n + 1\right) \left(n + 2\right)} + \frac{5 n}{16 \left(n + 1\right)^{2}} + \frac{\frac{2 n}{n + 2} - 2}{n + 2} + \frac{\frac{n}{n + 2} - 1}{4 n + 4} - \frac{1}{4 n + 4}\right)$$

Упростить

Третья производная

                                   /       n  \                   /       n  \             n                                              
                                 6*|-1 + -----|                 5*|-1 + -----|      -1 + -----                                            
    5                1             \     2 + n/       45*n        \     2 + n/           2 + n            5*n                   n         
---------- + ----------------- - -------------- - ----------- - -------------- - --------------- - ------------------ - ------------------
         2   2*(1 + n)*(2 + n)             2                3              2     (1 + n)*(2 + n)            2                            2
8*(1 + n)                           (2 + n)       64*(1 + n)     16*(1 + n)                        8*(1 + n) *(2 + n)   2*(1 + n)*(2 + n) 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                            4 _______                                                                     
                                                            \/ 1 + n *(2 + n)                                                             

$$\frac{1}{\sqrt[4]{n + 1} \left(n + 2\right)} \left(- \frac{n}{2 \left(n + 1\right) \left(n + 2\right)^{2}} - \frac{5 n}{8 \left(n + 1\right)^{2} \left(n + 2\right)} - \frac{45 n}{64 \left(n + 1\right)^{3}} - \frac{\frac{6 n}{n + 2} - 6}{\left(n + 2\right)^{2}} - \frac{\frac{n}{n + 2} - 1}{\left(n + 1\right) \left(n + 2\right)} + \frac{1}{2 \left(n + 1\right) \left(n + 2\right)} - \frac{\frac{5 n}{n + 2} - 5}{16 \left(n + 1\right)^{2}} + \frac{5}{8 \left(n + 1\right)^{2}}\right)$$

Упростить

График