Производная n/(n+2)/(n+1)^(1/4)

Вы ввели

        n        
-----------------
        4 _______
(n + 2)*\/ n + 1 

$$\frac{n}{\sqrt[4]{n + 1} \left(n + 2\right)}$$

d /        n        \
--|-----------------|
dn|        4 _______|
  \(n + 2)*\/ n + 1 /

$$\frac{d}{d n} \frac{n}{\sqrt[4]{n + 1} \left(n + 2\right)}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d n} \frac{f{\left(n \right)}}{g{\left(n \right)}} = \frac{- f{\left(n \right)} \frac{d}{d n} g{\left(n \right)} + g{\left(n \right)} \frac{d}{d n} f{\left(n \right)}}{g^{2}{\left(n \right)}}$

   $f{\left(n \right)} = n$ и $g{\left(n \right)} = \sqrt[4]{n + 1} \left(n + 2\right)$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d n} f{\left(n \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $n$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d n} g{\left(n \right)}$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d n} f{\left(n \right)} g{\left(n \right)} = f{\left(n \right)} \frac{d}{d n} g{\left(n \right)} + g{\left(n \right)} \frac{d}{d n} f{\left(n \right)}$

      $f{\left(n \right)} = \sqrt[4]{n + 1}$; найдём $\frac{d}{d n} f{\left(n \right)}$:

      1. Заменим $u = n + 1$.

      2. В силу правила, применим: $\sqrt[4]{u}$ получим $\frac{1}{4 u^{\frac{3}{4}}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d n} \left(n + 1\right)$:

         1. дифференцируем $n + 1$ почленно:

            1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

            2. В силу правила, применим: $n$ получим $1$

            В результате: $1$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{1}{4 \left(n + 1\right)^{\frac{3}{4}}}$

      $g{\left(n \right)} = n + 2$; найдём $\frac{d}{d n} g{\left(n \right)}$:

      1. дифференцируем $n + 2$ почленно:

         1. Производная постоянной $2$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $n$ получим $1$

         В результате: $1$

      В результате: $\sqrt[4]{n + 1} + \frac{n + 2}{4 \left(n + 1\right)^{\frac{3}{4}}}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{- n \left(\sqrt[4]{n + 1} + \frac{n + 2}{4 \left(n + 1\right)^{\frac{3}{4}}}\right) + \sqrt[4]{n + 1} \left(n + 2\right)}{\sqrt{n + 1} \left(n + 2\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{- \frac{n \left(5 n + 6\right)}{4} + \left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}{\left(n + 1\right)^{\frac{5}{4}} \left(n + 2\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{- \frac{n \left(5 n + 6\right)}{4} + \left(n + 1\right) \left(n + 2\right)}{\left(n + 1\right)^{\frac{5}{4}} \left(n + 2\right)^{2}}$

Первая производная

        1                   n                     n          
----------------- - ------------------ - --------------------
4 _______           4 _______        2            5/4        
\/ n + 1 *(n + 2)   \/ n + 1 *(n + 2)    4*(n + 1)   *(n + 2)

$$- \frac{n}{\sqrt[4]{n + 1} \left(n + 2\right)^{2}} - \frac{n}{4 \left(n + 1\right)^{\frac{5}{4}} \left(n + 2\right)} + \frac{1}{\sqrt[4]{n + 1} \left(n + 2\right)}$$

Вторая производная

    2         1         2*n          5*n               n        
- ----- - --------- + -------- + ----------- + -----------------
  2 + n   2*(1 + n)          2             2   2*(1 + n)*(2 + n)
                      (2 + n)    16*(1 + n)                     
----------------------------------------------------------------
                       4 _______                                
                       \/ 1 + n *(2 + n)                        

$$\frac{\frac{2 n}{\left(n + 2\right)^{2}} + \frac{n}{2 \left(n + 1\right) \left(n + 2\right)} + \frac{5 n}{16 \left(n + 1\right)^{2}} - \frac{2}{n + 2} - \frac{1}{2 \left(n + 1\right)}}{\sqrt[4]{n + 1} \left(n + 2\right)}$$

Третья производная

  /   2            5                1             2*n          15*n              5*n                   n         \
3*|-------- + ----------- + ----------------- - -------- - ----------- - ------------------- - ------------------|
  |       2             2   2*(1 + n)*(2 + n)          3             3             2                            2|
  \(2 + n)    16*(1 + n)                        (2 + n)    64*(1 + n)    16*(1 + n) *(2 + n)   2*(1 + n)*(2 + n) /
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                4 _______                                                         
                                                \/ 1 + n *(2 + n)                                                 

$$\frac{3 \left(- \frac{2 n}{\left(n + 2\right)^{3}} - \frac{n}{2 \left(n + 1\right) \left(n + 2\right)^{2}} - \frac{5 n}{16 \left(n + 1\right)^{2} \left(n + 2\right)} - \frac{15 n}{64 \left(n + 1\right)^{3}} + \frac{2}{\left(n + 2\right)^{2}} + \frac{1}{2 \left(n + 1\right) \left(n + 2\right)} + \frac{5}{16 \left(n + 1\right)^{2}}\right)}{\sqrt[4]{n + 1} \left(n + 2\right)}$$

График