Производная sqrt((cos(x))*sqrt(cos(x)))

Вы ввели

   ___________________
  /          ________ 
\/  cos(x)*\/ cos(x)  

$$\sqrt{\sqrt{\cos{\left (x \right )}} \cos{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sqrt{\cos{\left (x \right )}} \cos{\left (x \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\sqrt{\cos{\left (x \right )}} \cos{\left (x \right )}\right)$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

      $f{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      $g{\left (x \right )} = \sqrt{\cos{\left (x \right )}}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. Заменим $u = \cos{\left (x \right )}$.

      2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )}$:

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{\sin{\left (x \right )}}{2 \sqrt{\cos{\left (x \right )}}}$

      В результате: $- \frac{3}{2} \sin{\left (x \right )} \sqrt{\cos{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{3 \sin{\left (x \right )} \sqrt{\cos{\left (x \right )}}}{4 \sqrt{\cos^{\frac{3}{2}}{\left (x \right )}}}$

---

Ответ:

$- \frac{3 \sin{\left (x \right )} \sqrt{\cos{\left (x \right )}}}{4 \sqrt{\cos^{\frac{3}{2}}{\left (x \right )}}}$

Первая производная

      ___________       
     /    3/2           
-3*\/  cos   (x) *sin(x)
------------------------
        4*cos(x)        

$$- \frac{3 \sqrt{\cos^{\frac{3}{2}}{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )}}{4 \cos{\left (x \right )}}$$

Упростить

Вторая производная

      ___________ /       2   \
     /    3/2     |    sin (x)|
-3*\/  cos   (x) *|4 + -------|
                  |       2   |
                  \    cos (x)/
-------------------------------
               16              

$$- \frac{3}{16} \left(\frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + 4\right) \sqrt{\cos^{\frac{3}{2}}{\left (x \right )}}$$

Упростить

Третья производная

     ___________ /         2   \       
    /    3/2     |    5*sin (x)|       
3*\/  cos   (x) *|4 - ---------|*sin(x)
                 |        2    |       
                 \     cos (x) /       
---------------------------------------
               64*cos(x)               

$$\frac{3 \sqrt{\cos^{\frac{3}{2}}{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )}}{64 \cos{\left (x \right )}} \left(- \frac{5 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + 4\right)$$

Упростить