Производная sqrt((cos(x))*sqrt(cos(x)))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
   ___________________
  /          ________ 
\/  cos(x)*\/ cos(x)  
cos(x)cos(x)\sqrt{\sqrt{\cos{\left (x \right )}} \cos{\left (x \right )}}
Подробное решение
  1. Заменим u=cos(x)cos(x)u = \sqrt{\cos{\left (x \right )}} \cos{\left (x \right )}.

  2. В силу правила, применим: u\sqrt{u} получим 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx(cos(x)cos(x))\frac{d}{d x}\left(\sqrt{\cos{\left (x \right )}} \cos{\left (x \right )}\right):

    1. Применяем правило производной умножения:

      ddx(f(x)g(x))=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}

      f(x)=cos(x)f{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}; найдём ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

      1. Производная косинус есть минус синус:

        ddxcos(x)=sin(x)\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}

      g(x)=cos(x)g{\left (x \right )} = \sqrt{\cos{\left (x \right )}}; найдём ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

      1. Заменим u=cos(x)u = \cos{\left (x \right )}.

      2. В силу правила, применим: u\sqrt{u} получим 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxcos(x)\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )}:

        1. Производная косинус есть минус синус:

          ddxcos(x)=sin(x)\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}

        В результате последовательности правил:

        sin(x)2cos(x)- \frac{\sin{\left (x \right )}}{2 \sqrt{\cos{\left (x \right )}}}

      В результате: 32sin(x)cos(x)- \frac{3}{2} \sin{\left (x \right )} \sqrt{\cos{\left (x \right )}}

    В результате последовательности правил:

    3sin(x)cos(x)4cos32(x)- \frac{3 \sin{\left (x \right )} \sqrt{\cos{\left (x \right )}}}{4 \sqrt{\cos^{\frac{3}{2}}{\left (x \right )}}}


Ответ:

3sin(x)cos(x)4cos32(x)- \frac{3 \sin{\left (x \right )} \sqrt{\cos{\left (x \right )}}}{4 \sqrt{\cos^{\frac{3}{2}}{\left (x \right )}}}

График
02468-8-6-4-2-10105-5
Первая производная [src]
      ___________       
     /    3/2           
-3*\/  cos   (x) *sin(x)
------------------------
        4*cos(x)        
3cos32(x)sin(x)4cos(x)- \frac{3 \sqrt{\cos^{\frac{3}{2}}{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )}}{4 \cos{\left (x \right )}}
Вторая производная [src]
      ___________ /       2   \
     /    3/2     |    sin (x)|
-3*\/  cos   (x) *|4 + -------|
                  |       2   |
                  \    cos (x)/
-------------------------------
               16              
316(sin2(x)cos2(x)+4)cos32(x)- \frac{3}{16} \left(\frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + 4\right) \sqrt{\cos^{\frac{3}{2}}{\left (x \right )}}
Третья производная [src]
     ___________ /         2   \       
    /    3/2     |    5*sin (x)|       
3*\/  cos   (x) *|4 - ---------|*sin(x)
                 |        2    |       
                 \     cos (x) /       
---------------------------------------
               64*cos(x)               
3cos32(x)sin(x)64cos(x)(5sin2(x)cos2(x)+4)\frac{3 \sqrt{\cos^{\frac{3}{2}}{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )}}{64 \cos{\left (x \right )}} \left(- \frac{5 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + 4\right)