Производная sqrt(a^2+y^2)+y^a/sqrt(a^2-y^2)+a^2/sqrt(a^2+y^2)

()'

↑ Функция f () ? - производная -го порядка

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
   _________         a              2     
  /  2    2         y              a      
\/  a  + y   + ------------ + ------------
                  _________      _________
                 /  2    2      /  2    2 
               \/  a  - y     \/  a  + y  
$$\frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2} + y^{2}}} + \frac{y^{a}}{\sqrt{a^{2} - y^{2}}} + \sqrt{a^{2} + y^{2}}$$
Подробное решение
[TeX]
  1. дифференцируем почленно:

    1. дифференцируем почленно:

      1. Заменим .

      2. В силу правила, применим: получим

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

        1. дифференцируем почленно:

          1. Производная постоянной равна нулю.

          2. В силу правила, применим: получим

          В результате:

        В результате последовательности правил:

      4. Применим правило производной частного:

        и .

        Чтобы найти :

        1. В силу правила, применим: получим

        Чтобы найти :

        1. Заменим .

        2. В силу правила, применим: получим

        3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

          1. дифференцируем почленно:

            1. Производная постоянной равна нулю.

            2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

              1. В силу правила, применим: получим

              Таким образом, в результате:

            В результате:

          В результате последовательности правил:

        Теперь применим правило производной деления:

      В результате:

    2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим .

      2. В силу правила, применим: получим

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

        1. Заменим .

        2. В силу правила, применим: получим

        3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

          1. дифференцируем почленно:

            1. Производная постоянной равна нулю.

            2. В силу правила, применим: получим

            В результате:

          В результате последовательности правил:

        В результате последовательности правил:

      Таким образом, в результате:

    В результате:

  2. Теперь упростим:


Ответ:

Первая производная
[TeX]
[pretty]
[text]
                      a              2               a     
     y             y*y            y*a             a*y      
------------ + ------------ - ------------ + --------------
   _________            3/2            3/2        _________
  /  2    2    / 2    2\      / 2    2\          /  2    2 
\/  a  + y     \a  - y /      \a  + y /      y*\/  a  - y  
$$- \frac{a^{2} y}{\left(a^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{a y^{a}}{y \sqrt{a^{2} - y^{2}}} + \frac{y y^{a}}{\left(a^{2} - y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{y}{\sqrt{a^{2} + y^{2}}}$$
Вторая производная
[TeX]
[pretty]
[text]
                     a              2              2                a           2  2           2  a            2  a                 a     
     1              y              a              y            2*a*y         3*a *y         3*y *y            a *y               a*y      
------------ + ------------ - ------------ - ------------ + ------------ + ------------ + ------------ + --------------- - ---------------
   _________            3/2            3/2            3/2            3/2            5/2            5/2         _________         _________
  /  2    2    / 2    2\      / 2    2\      / 2    2\      / 2    2\      / 2    2\      / 2    2\       2   /  2    2     2   /  2    2 
\/  a  + y     \a  - y /      \a  + y /      \a  + y /      \a  - y /      \a  + y /      \a  - y /      y *\/  a  - y     y *\/  a  - y  
$$\frac{3 a^{2} y^{2}}{\left(a^{2} + y^{2}\right)^{\frac{5}{2}}} - \frac{a^{2}}{\left(a^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{a^{2} y^{a}}{y^{2} \sqrt{a^{2} - y^{2}}} + \frac{2 a y^{a}}{\left(a^{2} - y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{a y^{a}}{y^{2} \sqrt{a^{2} - y^{2}}} + \frac{3 y^{2} y^{a}}{\left(a^{2} - y^{2}\right)^{\frac{5}{2}}} - \frac{y^{2}}{\left(a^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{y^{a}}{\left(a^{2} - y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{a^{2} + y^{2}}}$$
Третья производная
[TeX]
[pretty]
[text]
                        3             2  3             2              a            3  a           3  a               2  a                 a             2  a                a  
      3*y            3*y          15*a *y         9*y*a          9*y*y         15*y *y           a *y             3*a *y             2*a*y           3*a *y          9*a*y*y   
- ------------ + ------------ - ------------ + ------------ + ------------ + ------------ + --------------- - --------------- + --------------- + -------------- + ------------
           3/2            5/2            7/2            5/2            5/2            7/2         _________         _________         _________              3/2            5/2
  / 2    2\      / 2    2\      / 2    2\      / 2    2\      / 2    2\      / 2    2\       3   /  2    2     3   /  2    2     3   /  2    2      / 2    2\      / 2    2\   
  \a  + y /      \a  + y /      \a  + y /      \a  + y /      \a  - y /      \a  - y /      y *\/  a  - y     y *\/  a  - y     y *\/  a  - y     y*\a  - y /      \a  - y /   
$$\frac{a^{3} y^{a}}{y^{3} \sqrt{a^{2} - y^{2}}} - \frac{15 a^{2} y^{3}}{\left(a^{2} + y^{2}\right)^{\frac{7}{2}}} + \frac{9 a^{2} y}{\left(a^{2} + y^{2}\right)^{\frac{5}{2}}} + \frac{3 a^{2} y^{a}}{y \left(a^{2} - y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 a^{2} y^{a}}{y^{3} \sqrt{a^{2} - y^{2}}} + \frac{9 a y y^{a}}{\left(a^{2} - y^{2}\right)^{\frac{5}{2}}} + \frac{2 a y^{a}}{y^{3} \sqrt{a^{2} - y^{2}}} + \frac{15 y^{3} y^{a}}{\left(a^{2} - y^{2}\right)^{\frac{7}{2}}} + \frac{3 y^{3}}{\left(a^{2} + y^{2}\right)^{\frac{5}{2}}} + \frac{9 y y^{a}}{\left(a^{2} - y^{2}\right)^{\frac{5}{2}}} - \frac{3 y}{\left(a^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$$