Производная sqrt(a^2+y^2)+y^a/sqrt(a^2-y^2)+a^2/sqrt(a^2+y^2)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

   _________         a              2     
  /  2    2         y              a      
\/  a  + y   + ------------ + ------------
                  _________      _________
                 /  2    2      /  2    2 
               \/  a  - y     \/  a  + y  

$$\frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2} + y^{2}}} + \frac{y^{a}}{\sqrt{a^{2} - y^{2}}} + \sqrt{a^{2} + y^{2}}$$

Подробное решение

[TeX]

1. дифференцируем $\frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2} + y^{2}}} + \frac{y^{a}}{\sqrt{a^{2} - y^{2}}} + \sqrt{a^{2} + y^{2}}$ почленно:

   1. дифференцируем $\frac{y^{a}}{\sqrt{a^{2} - y^{2}}} + \sqrt{a^{2} + y^{2}}$ почленно:

      1. Заменим $u = a^{2} + y^{2}$.

      2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial y}\left(a^{2} + y^{2}\right)$:

         1. дифференцируем $a^{2} + y^{2}$ почленно:

            1. Производная постоянной $a^{2}$ равна нулю.

            2. В силу правила, применим: $y^{2}$ получим $2 y$

            В результате: $2 y$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{y}{\sqrt{a^{2} + y^{2}}}$

      4. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d y}\left(\frac{f{\left (y \right )}}{g{\left (y \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (y \right )}} \left(- f{\left (y \right )} \frac{d}{d y} g{\left (y \right )} + g{\left (y \right )} \frac{d}{d y} f{\left (y \right )}\right)$

         $f{\left (y \right )} = y^{a}$ и $g{\left (y \right )} = \sqrt{a^{2} - y^{2}}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d y} f{\left (y \right )}$:

         1. В силу правила, применим: $y^{a}$ получим $\frac{a y^{a}}{y}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d y} g{\left (y \right )}$:

         1. Заменим $u = a^{2} - y^{2}$.

         2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial y}\left(a^{2} - y^{2}\right)$:

            1. дифференцируем $a^{2} - y^{2}$ почленно:

               1. Производная постоянной $a^{2}$ равна нулю.

               2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                  1. В силу правила, применим: $y^{2}$ получим $2 y$

                  Таким образом, в результате: $- 2 y$

               В результате: $- 2 y$

            В результате последовательности правил:

            $- \frac{y}{\sqrt{a^{2} - y^{2}}}$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{1}{a^{2} - y^{2}} \left(\frac{a y^{a}}{y} \sqrt{a^{2} - y^{2}} + \frac{y y^{a}}{\sqrt{a^{2} - y^{2}}}\right)$

      В результате: $\frac{y}{\sqrt{a^{2} + y^{2}}} + \frac{1}{a^{2} - y^{2}} \left(\frac{a y^{a}}{y} \sqrt{a^{2} - y^{2}} + \frac{y y^{a}}{\sqrt{a^{2} - y^{2}}}\right)$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = \sqrt{a^{2} + y^{2}}$.

      2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial y} \sqrt{a^{2} + y^{2}}$:

         1. Заменим $u = a^{2} + y^{2}$.

         2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial y}\left(a^{2} + y^{2}\right)$:

            1. дифференцируем $a^{2} + y^{2}$ почленно:

               1. Производная постоянной $a^{2}$ равна нулю.

               2. В силу правила, применим: $y^{2}$ получим $2 y$

               В результате: $2 y$

            В результате последовательности правил:

            $\frac{y}{\sqrt{a^{2} + y^{2}}}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{y}{\left(a^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{a^{2} y}{\left(a^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$

   В результате: $- \frac{a^{2} y}{\left(a^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{y}{\sqrt{a^{2} + y^{2}}} + \frac{1}{a^{2} - y^{2}} \left(\frac{a y^{a}}{y} \sqrt{a^{2} - y^{2}} + \frac{y y^{a}}{\sqrt{a^{2} - y^{2}}}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{a^{3} y^{a}}{y \left(a^{2} - y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{a^{2} y}{\left(a^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{a y y^{a}}{\left(a^{2} - y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{y y^{a}}{\left(a^{2} - y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{y}{\sqrt{a^{2} + y^{2}}}$

---

Ответ:

$\frac{a^{3} y^{a}}{y \left(a^{2} - y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{a^{2} y}{\left(a^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{a y y^{a}}{\left(a^{2} - y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{y y^{a}}{\left(a^{2} - y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{y}{\sqrt{a^{2} + y^{2}}}$

Первая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

                      a              2               a     
     y             y*y            y*a             a*y      
------------ + ------------ - ------------ + --------------
   _________            3/2            3/2        _________
  /  2    2    / 2    2\      / 2    2\          /  2    2 
\/  a  + y     \a  - y /      \a  + y /      y*\/  a  - y  

$$- \frac{a^{2} y}{\left(a^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{a y^{a}}{y \sqrt{a^{2} - y^{2}}} + \frac{y y^{a}}{\left(a^{2} - y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{y}{\sqrt{a^{2} + y^{2}}}$$

Упростить

Вторая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

                     a              2              2                a           2  2           2  a            2  a                 a     
     1              y              a              y            2*a*y         3*a *y         3*y *y            a *y               a*y      
------------ + ------------ - ------------ - ------------ + ------------ + ------------ + ------------ + --------------- - ---------------
   _________            3/2            3/2            3/2            3/2            5/2            5/2         _________         _________
  /  2    2    / 2    2\      / 2    2\      / 2    2\      / 2    2\      / 2    2\      / 2    2\       2   /  2    2     2   /  2    2 
\/  a  + y     \a  - y /      \a  + y /      \a  + y /      \a  - y /      \a  + y /      \a  - y /      y *\/  a  - y     y *\/  a  - y  

$$\frac{3 a^{2} y^{2}}{\left(a^{2} + y^{2}\right)^{\frac{5}{2}}} - \frac{a^{2}}{\left(a^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{a^{2} y^{a}}{y^{2} \sqrt{a^{2} - y^{2}}} + \frac{2 a y^{a}}{\left(a^{2} - y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{a y^{a}}{y^{2} \sqrt{a^{2} - y^{2}}} + \frac{3 y^{2} y^{a}}{\left(a^{2} - y^{2}\right)^{\frac{5}{2}}} - \frac{y^{2}}{\left(a^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{y^{a}}{\left(a^{2} - y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{a^{2} + y^{2}}}$$

Упростить

Третья производная

[TeX]

[pretty]

[text]

                        3             2  3             2              a            3  a           3  a               2  a                 a             2  a                a  
      3*y            3*y          15*a *y         9*y*a          9*y*y         15*y *y           a *y             3*a *y             2*a*y           3*a *y          9*a*y*y   
- ------------ + ------------ - ------------ + ------------ + ------------ + ------------ + --------------- - --------------- + --------------- + -------------- + ------------
           3/2            5/2            7/2            5/2            5/2            7/2         _________         _________         _________              3/2            5/2
  / 2    2\      / 2    2\      / 2    2\      / 2    2\      / 2    2\      / 2    2\       3   /  2    2     3   /  2    2     3   /  2    2      / 2    2\      / 2    2\   
  \a  + y /      \a  + y /      \a  + y /      \a  + y /      \a  - y /      \a  - y /      y *\/  a  - y     y *\/  a  - y     y *\/  a  - y     y*\a  - y /      \a  - y /   

$$\frac{a^{3} y^{a}}{y^{3} \sqrt{a^{2} - y^{2}}} - \frac{15 a^{2} y^{3}}{\left(a^{2} + y^{2}\right)^{\frac{7}{2}}} + \frac{9 a^{2} y}{\left(a^{2} + y^{2}\right)^{\frac{5}{2}}} + \frac{3 a^{2} y^{a}}{y \left(a^{2} - y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 a^{2} y^{a}}{y^{3} \sqrt{a^{2} - y^{2}}} + \frac{9 a y y^{a}}{\left(a^{2} - y^{2}\right)^{\frac{5}{2}}} + \frac{2 a y^{a}}{y^{3} \sqrt{a^{2} - y^{2}}} + \frac{15 y^{3} y^{a}}{\left(a^{2} - y^{2}\right)^{\frac{7}{2}}} + \frac{3 y^{3}}{\left(a^{2} + y^{2}\right)^{\frac{5}{2}}} + \frac{9 y y^{a}}{\left(a^{2} - y^{2}\right)^{\frac{5}{2}}} - \frac{3 y}{\left(a^{2} + y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$$

Упростить