Производная (3-x^2)*log(2*x)^(2)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

/     2\    2     
\3 - x /*log (2*x)

$$\left(- x^{2} + 3\right) \log^{2}{\left (2 x \right )}$$

Подробное решение

[TeX]

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = - x^{2} + 3$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $- x^{2} + 3$ почленно:

      1. Производная постоянной $3$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         Таким образом, в результате: $- 2 x$

      В результате: $- 2 x$

   $g{\left (x \right )} = \log^{2}{\left (2 x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \log{\left (2 x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (2 x \right )}$:

      1. Заменим $u = 2 x$.

      2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(2 x\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $2$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{1}{x}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{2}{x} \log{\left (2 x \right )}$

   В результате: $- 2 x \log^{2}{\left (2 x \right )} + \frac{2}{x} \left(- x^{2} + 3\right) \log{\left (2 x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2}{x} \left(- x^{2} \log{\left (2 x \right )} - x^{2} + 3\right) \log{\left (2 x \right )}$

---

Ответ:

$\frac{2}{x} \left(- x^{2} \log{\left (2 x \right )} - x^{2} + 3\right) \log{\left (2 x \right )}$

Первая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

                    /     2\         
         2        2*\3 - x /*log(2*x)
- 2*x*log (2*x) + -------------------
                           x         

$$- 2 x \log^{2}{\left (2 x \right )} + \frac{2}{x} \left(- x^{2} + 3\right) \log{\left (2 x \right )}$$

Упростить

Вторая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

  /                                 2   /      2\         \
  |     2                     -3 + x    \-3 + x /*log(2*x)|
2*|- log (2*x) - 4*log(2*x) - ------- + ------------------|
  |                               2              2        |
  \                              x              x         /

$$2 \left(- \log^{2}{\left (2 x \right )} - 4 \log{\left (2 x \right )} + \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} - 3\right) \log{\left (2 x \right )} - \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} - 3\right)\right)$$

Упростить

Третья производная

[TeX]

[pretty]

[text]

  /       /      2\     /      2\         \
  |     3*\-3 + x /   2*\-3 + x /*log(2*x)|
2*|-6 + ----------- - --------------------|
  |           2                 2         |
  \          x                 x          /
-------------------------------------------
                     x                     

$$\frac{1}{x} \left(-12 - \frac{4}{x^{2}} \left(x^{2} - 3\right) \log{\left (2 x \right )} + \frac{1}{x^{2}} \left(6 x^{2} - 18\right)\right)$$

Упростить