Производная x*exp(-x*(log((x+1)/sqrt(3))/log(2)))

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

         /x + 1\
      log|-----|
         |  ___|
         \\/ 3 /
   -x*----------
        log(2)  
x*e             

$$x e^{- x \frac{\log{\left (\frac{1}{\sqrt{3}} \left(x + 1\right) \right )}}{\log{\left (2 \right )}}}$$

Подробное решение

[TeX]

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   $g{\left (x \right )} = e^{- x \frac{\log{\left (\frac{1}{\sqrt{3}} \left(x + 1\right) \right )}}{\log{\left (2 \right )}}}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = - x \frac{\log{\left (\frac{1}{\sqrt{3}} \left(x + 1\right) \right )}}{\log{\left (2 \right )}}$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- x \frac{\log{\left (\frac{1}{\sqrt{3}} \left(x + 1\right) \right )}}{\log{\left (2 \right )}}\right)$:

      1. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

         $f{\left (x \right )} = - x \log{\left (\frac{1}{\sqrt{3}} \left(x + 1\right) \right )}$ и $g{\left (x \right )} = \log{\left (2 \right )}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. Применяем правило производной умножения:

               $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

               $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               $g{\left (x \right )} = \log{\left (\frac{1}{\sqrt{3}} \left(x + 1\right) \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

               1. Заменим $u = \frac{1}{\sqrt{3}} \left(x + 1\right)$.

               2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

               3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{\sqrt{3}} \left(x + 1\right)\right)$:

                  1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                     1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

                        1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                        2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

                        В результате: $1$

                     Таким образом, в результате: $\frac{1}{\sqrt{3}}$

                  В результате последовательности правил:

                  $\frac{1}{x + 1}$

               В результате: $\frac{x}{x + 1} + \log{\left (\frac{1}{\sqrt{3}} \left(x + 1\right) \right )}$

            Таким образом, в результате: $- \frac{x}{x + 1} - \log{\left (\frac{1}{\sqrt{3}} \left(x + 1\right) \right )}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

         1. Производная постоянной $\log{\left (2 \right )}$ равна нулю.

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{1}{\log{\left (2 \right )}} \left(- \frac{x}{x + 1} - \log{\left (\frac{1}{\sqrt{3}} \left(x + 1\right) \right )}\right)$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{\log{\left (2 \right )}} \left(- \frac{x}{x + 1} - \log{\left (\frac{1}{\sqrt{3}} \left(x + 1\right) \right )}\right) e^{- x \frac{\log{\left (\frac{1}{\sqrt{3}} \left(x + 1\right) \right )}}{\log{\left (2 \right )}}}$

   В результате: $\frac{x}{\log{\left (2 \right )}} \left(- \frac{x}{x + 1} - \log{\left (\frac{1}{\sqrt{3}} \left(x + 1\right) \right )}\right) e^{- x \frac{\log{\left (\frac{1}{\sqrt{3}} \left(x + 1\right) \right )}}{\log{\left (2 \right )}}} + e^{- x \frac{\log{\left (\frac{1}{\sqrt{3}} \left(x + 1\right) \right )}}{\log{\left (2 \right )}}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\left(x + 1\right) \log{\left (2 \right )}} \left(- x \left(x + \left(x + 1\right) \left(\log{\left (x + 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (3 \right )}\right)\right) + \left(x + 1\right) \log{\left (2 \right )}\right) e^{- \frac{x}{\log{\left (2 \right )}} \left(\log{\left (x + 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (3 \right )}\right)}$

---

Ответ:

$\frac{1}{\left(x + 1\right) \log{\left (2 \right )}} \left(- x \left(x + \left(x + 1\right) \left(\log{\left (x + 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (3 \right )}\right)\right) + \left(x + 1\right) \log{\left (2 \right )}\right) e^{- \frac{x}{\log{\left (2 \right )}} \left(\log{\left (x + 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (3 \right )}\right)}$

Первая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

                                         /x + 1\          /x + 1\
                                      log|-----|       log|-----|
  /     /x + 1\                 \        |  ___|          |  ___|
  |  log|-----|                 |        \\/ 3 /          \\/ 3 /
  |     |  ___|                 |  -x*----------    -x*----------
  |     \\/ 3 /         x       |       log(2)           log(2)  
x*|- ---------- - --------------|*e              + e             
  \    log(2)     (x + 1)*log(2)/                                

$$x \left(- \frac{x}{\left(x + 1\right) \log{\left (2 \right )}} - \frac{\log{\left (\frac{1}{\sqrt{3}} \left(x + 1\right) \right )}}{\log{\left (2 \right )}}\right) e^{- x \frac{\log{\left (\frac{1}{\sqrt{3}} \left(x + 1\right) \right )}}{\log{\left (2 \right )}}} + e^{- x \frac{\log{\left (\frac{1}{\sqrt{3}} \left(x + 1\right) \right )}}{\log{\left (2 \right )}}}$$

Упростить

Вторая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

                                                                                           /  ___        \ 
/                                                                                2\        |\/ 3 *(1 + x)| 
|                                                    /           /  ___        \\ |  -x*log|-------------| 
|                                   /       x  \     |  x        |\/ 3 *(1 + x)|| |        \      3      / 
|       /  ___        \           x*|-2 + -----|   x*|----- + log|-------------|| |  ----------------------
|       |\/ 3 *(1 + x)|    2*x      \     1 + x/     \1 + x      \      3      // |          log(2)        
|- 2*log|-------------| - ----- + -------------- + -------------------------------|*e                      
\       \      3      /   1 + x       1 + x                     log(2)            /                        
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                   log(2)                                                  

$$\frac{1}{\log{\left (2 \right )}} \left(\frac{x}{\log{\left (2 \right )}} \left(\frac{x}{x + 1} + \log{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(x + 1\right) \right )}\right)^{2} + \frac{x \left(\frac{x}{x + 1} - 2\right)}{x + 1} - \frac{2 x}{x + 1} - 2 \log{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(x + 1\right) \right )}\right) e^{- \frac{x \log{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(x + 1\right) \right )}}{\log{\left (2 \right )}}}$$

Упростить

Третья производная

[TeX]

[pretty]

[text]

                                                                                                                                                             /  ___        \ 
/                                               2                                                  3                                                \        |\/ 3 *(1 + x)| 
|                   /           /  ___        \\                       /           /  ___        \\                     /           /  ___        \\|  -x*log|-------------| 
|  /       x  \     |  x        |\/ 3 *(1 + x)||      /      2*x \     |  x        |\/ 3 *(1 + x)||        /       x  \ |  x        |\/ 3 *(1 + x)|||        \      3      / 
|3*|-2 + -----|   3*|----- + log|-------------||    x*|-3 + -----|   x*|----- + log|-------------||    3*x*|-2 + -----|*|----- + log|-------------|||  ----------------------
|  \     1 + x/     \1 + x      \      3      //      \     1 + x/     \1 + x      \      3      //        \     1 + x/ \1 + x      \      3      //|          log(2)        
|-------------- + ------------------------------- - -------------- - ------------------------------- - ---------------------------------------------|*e                      
|    1 + x                     log(2)                         2                     2                                  (1 + x)*log(2)               |                        
\                                                      (1 + x)                   log (2)                                                            /                        
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                    log(2)                                                                                   

$$\frac{1}{\log{\left (2 \right )}} \left(- \frac{x}{\log^{2}{\left (2 \right )}} \left(\frac{x}{x + 1} + \log{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(x + 1\right) \right )}\right)^{3} - \frac{3 x}{\left(x + 1\right) \log{\left (2 \right )}} \left(\frac{x}{x + 1} - 2\right) \left(\frac{x}{x + 1} + \log{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(x + 1\right) \right )}\right) - \frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} \left(\frac{2 x}{x + 1} - 3\right) + \frac{3}{\log{\left (2 \right )}} \left(\frac{x}{x + 1} + \log{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(x + 1\right) \right )}\right)^{2} + \frac{\frac{3 x}{x + 1} - 6}{x + 1}\right) e^{- \frac{x \log{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(x + 1\right) \right )}}{\log{\left (2 \right )}}}$$

Упростить