Производная 10^(x*tan(x))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
  x*tan(x)
10        
10xtan(x)10^{x \tan{\left (x \right )}}
Подробное решение
  1. Заменим u=xtan(x)u = x \tan{\left (x \right )}.

  2. ddu10u=10ulog(10)\frac{d}{d u} 10^{u} = 10^{u} \log{\left (10 \right )}

  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx(xtan(x))\frac{d}{d x}\left(x \tan{\left (x \right )}\right):

    1. Применяем правило производной умножения:

      ddx(f(x)g(x))=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}

      f(x)=xf{\left (x \right )} = x; найдём ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

      1. В силу правила, применим: xx получим 11

      g(x)=tan(x)g{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )}; найдём ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

        Один из способов:

        1. ddxtan(x)=1cos2(x)\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}

      В результате: xcos2(x)(sin2(x)+cos2(x))+tan(x)\frac{x}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) + \tan{\left (x \right )}

    В результате последовательности правил:

    10xtan(x)(xcos2(x)(sin2(x)+cos2(x))+tan(x))log(10)10^{x \tan{\left (x \right )}} \left(\frac{x}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) + \tan{\left (x \right )}\right) \log{\left (10 \right )}

  4. Теперь упростим:

    10xtan(x)cos2(x)(x+12sin(2x))log(10)\frac{10^{x \tan{\left (x \right )}}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(x + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}\right) \log{\left (10 \right )}


Ответ:

10xtan(x)cos2(x)(x+12sin(2x))log(10)\frac{10^{x \tan{\left (x \right )}}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(x + \frac{1}{2} \sin{\left (2 x \right )}\right) \log{\left (10 \right )}

График
02468-8-6-4-2-1010-5e1055e105
Первая производная [src]
  x*tan(x) /  /       2   \         \        
10        *\x*\1 + tan (x)/ + tan(x)/*log(10)
10xtan(x)(x(tan2(x)+1)+tan(x))log(10)10^{x \tan{\left (x \right )}} \left(x \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + \tan{\left (x \right )}\right) \log{\left (10 \right )}
Вторая производная [src]
           /                                          2                                   \        
  x*tan(x) |         2      /  /       2   \         \                /       2   \       |        
10        *\2 + 2*tan (x) + \x*\1 + tan (x)/ + tan(x)/ *log(10) + 2*x*\1 + tan (x)/*tan(x)/*log(10)
10xtan(x)(2x(tan2(x)+1)tan(x)+(x(tan2(x)+1)+tan(x))2log(10)+2tan2(x)+2)log(10)10^{x \tan{\left (x \right )}} \left(2 x \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} + \left(x \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + \tan{\left (x \right )}\right)^{2} \log{\left (10 \right )} + 2 \tan^{2}{\left (x \right )} + 2\right) \log{\left (10 \right )}
Третья производная [src]
           /                          3                                                                                                                                                    \        
  x*tan(x) |/  /       2   \         \     2         /       2   \ /             /       2   \          2   \     /  /       2   \         \ /       2        /       2   \       \        |        
10        *\\x*\1 + tan (x)/ + tan(x)/ *log (10) + 2*\1 + tan (x)/*\3*tan(x) + x*\1 + tan (x)/ + 2*x*tan (x)/ + 6*\x*\1 + tan (x)/ + tan(x)/*\1 + tan (x) + x*\1 + tan (x)/*tan(x)/*log(10)/*log(10)
10xtan(x)((x(tan2(x)+1)+tan(x))3log2(10)+6(x(tan2(x)+1)+tan(x))(x(tan2(x)+1)tan(x)+tan2(x)+1)log(10)+2(tan2(x)+1)(x(tan2(x)+1)+2xtan2(x)+3tan(x)))log(10)10^{x \tan{\left (x \right )}} \left(\left(x \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + \tan{\left (x \right )}\right)^{3} \log^{2}{\left (10 \right )} + 6 \left(x \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + \tan{\left (x \right )}\right) \left(x \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} + \tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (10 \right )} + 2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(x \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + 2 x \tan^{2}{\left (x \right )} + 3 \tan{\left (x \right )}\right)\right) \log{\left (10 \right )}
График
Производная 10^(x*tan(x)) /media/krcore-image-pods/9/48/d3a7d0fc9587cf9ba9f7b017674d.png