Производная sin((x-2)/(2*x-3))^(2)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
   2/ x - 2 \
sin |-------|
    \2*x - 3/
sin2(x22x3)\sin^{2}{\left (\frac{x - 2}{2 x - 3} \right )}
Подробное решение
  1. Заменим u=sin(x22x3)u = \sin{\left (\frac{x - 2}{2 x - 3} \right )}.

  2. В силу правила, применим: u2u^{2} получим 2u2 u

  3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddxsin(x22x3)\frac{d}{d x} \sin{\left (\frac{x - 2}{2 x - 3} \right )}:

    1. Заменим u=x22x3u = \frac{x - 2}{2 x - 3}.

    2. Производная синуса есть косинус:

      ddusin(u)=cos(u)\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на ddx(x22x3)\frac{d}{d x}\left(\frac{x - 2}{2 x - 3}\right):

      1. Применим правило производной частного:

        ddx(f(x)g(x))=1g2(x)(f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x))\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)

        f(x)=x2f{\left (x \right )} = x - 2 и g(x)=2x3g{\left (x \right )} = 2 x - 3.

        Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

        1. дифференцируем x2x - 2 почленно:

          1. Производная постоянной 2-2 равна нулю.

          2. В силу правила, применим: xx получим 11

          В результате: 11

        Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

        1. дифференцируем 2x32 x - 3 почленно:

          1. Производная постоянной 3-3 равна нулю.

          2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: xx получим 11

            Таким образом, в результате: 22

          В результате: 22

        Теперь применим правило производной деления:

        1(2x3)2\frac{1}{\left(2 x - 3\right)^{2}}

      В результате последовательности правил:

      1(2x3)2cos(x22x3)\frac{1}{\left(2 x - 3\right)^{2}} \cos{\left (\frac{x - 2}{2 x - 3} \right )}

    В результате последовательности правил:

    2(2x3)2sin(x22x3)cos(x22x3)\frac{2}{\left(2 x - 3\right)^{2}} \sin{\left (\frac{x - 2}{2 x - 3} \right )} \cos{\left (\frac{x - 2}{2 x - 3} \right )}

  4. Теперь упростим:

    1(2x3)2sin(2x42x3)\frac{1}{\left(2 x - 3\right)^{2}} \sin{\left (\frac{2 x - 4}{2 x - 3} \right )}


Ответ:

1(2x3)2sin(2x42x3)\frac{1}{\left(2 x - 3\right)^{2}} \sin{\left (\frac{2 x - 4}{2 x - 3} \right )}

График
02468-8-6-4-2-1010-1000500
Первая производная [src]
  /   1      2*(x - 2) \    / x - 2 \    / x - 2 \
2*|------- - ----------|*cos|-------|*sin|-------|
  |2*x - 3            2|    \2*x - 3/    \2*x - 3/
  \          (2*x - 3) /                          
2(2x4(2x3)2+12x3)sin(x22x3)cos(x22x3)2 \left(- \frac{2 x - 4}{\left(2 x - 3\right)^{2}} + \frac{1}{2 x - 3}\right) \sin{\left (\frac{x - 2}{2 x - 3} \right )} \cos{\left (\frac{x - 2}{2 x - 3} \right )}
Вторая производная [src]
  /     2*(-2 + x)\ /   2/ -2 + x \ /     2*(-2 + x)\      2/ -2 + x \ /     2*(-2 + x)\        / -2 + x \    / -2 + x \\
2*|-1 + ----------|*|cos |--------|*|-1 + ----------| - sin |--------|*|-1 + ----------| + 4*cos|--------|*sin|--------||
  \      -3 + 2*x / \    \-3 + 2*x/ \      -3 + 2*x /       \-3 + 2*x/ \      -3 + 2*x /        \-3 + 2*x/    \-3 + 2*x//
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                 2                                                       
                                                       (-3 + 2*x)                                                        
2(2x3)2(2x42x31)((2x42x31)sin2(x22x3)+(2x42x31)cos2(x22x3)+4sin(x22x3)cos(x22x3))\frac{2}{\left(2 x - 3\right)^{2}} \left(\frac{2 x - 4}{2 x - 3} - 1\right) \left(- \left(\frac{2 x - 4}{2 x - 3} - 1\right) \sin^{2}{\left (\frac{x - 2}{2 x - 3} \right )} + \left(\frac{2 x - 4}{2 x - 3} - 1\right) \cos^{2}{\left (\frac{x - 2}{2 x - 3} \right )} + 4 \sin{\left (\frac{x - 2}{2 x - 3} \right )} \cos{\left (\frac{x - 2}{2 x - 3} \right )}\right)
Третья производная [src]
                    /                                                                                                                             2                            \
  /     2*(-2 + x)\ |       / -2 + x \    / -2 + x \        2/ -2 + x \ /     2*(-2 + x)\        2/ -2 + x \ /     2*(-2 + x)\   /     2*(-2 + x)\     / -2 + x \    / -2 + x \|
8*|-1 + ----------|*|- 6*cos|--------|*sin|--------| - 3*cos |--------|*|-1 + ----------| + 3*sin |--------|*|-1 + ----------| + |-1 + ----------| *cos|--------|*sin|--------||
  \      -3 + 2*x / \       \-3 + 2*x/    \-3 + 2*x/         \-3 + 2*x/ \      -3 + 2*x /         \-3 + 2*x/ \      -3 + 2*x /   \      -3 + 2*x /     \-3 + 2*x/    \-3 + 2*x//
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                            3                                                                                   
                                                                                  (-3 + 2*x)                                                                                    
8(2x3)3(2x42x31)((2x42x31)2sin(x22x3)cos(x22x3)+3(2x42x31)sin2(x22x3)3(2x42x31)cos2(x22x3)6sin(x22x3)cos(x22x3))\frac{8}{\left(2 x - 3\right)^{3}} \left(\frac{2 x - 4}{2 x - 3} - 1\right) \left(\left(\frac{2 x - 4}{2 x - 3} - 1\right)^{2} \sin{\left (\frac{x - 2}{2 x - 3} \right )} \cos{\left (\frac{x - 2}{2 x - 3} \right )} + 3 \left(\frac{2 x - 4}{2 x - 3} - 1\right) \sin^{2}{\left (\frac{x - 2}{2 x - 3} \right )} - 3 \left(\frac{2 x - 4}{2 x - 3} - 1\right) \cos^{2}{\left (\frac{x - 2}{2 x - 3} \right )} - 6 \sin{\left (\frac{x - 2}{2 x - 3} \right )} \cos{\left (\frac{x - 2}{2 x - 3} \right )}\right)