Производная sin((x-2)/(2*x-3))^(2)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

   2/ x - 2 \
sin |-------|
    \2*x - 3/

$$\sin^{2}{\left (\frac{x - 2}{2 x - 3} \right )}$$

Подробное решение

[TeX]

1. Заменим $u = \sin{\left (\frac{x - 2}{2 x - 3} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (\frac{x - 2}{2 x - 3} \right )}$:

   1. Заменим $u = \frac{x - 2}{2 x - 3}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x - 2}{2 x - 3}\right)$:

      1. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

         $f{\left (x \right )} = x - 2$ и $g{\left (x \right )} = 2 x - 3$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

         1. дифференцируем $x - 2$ почленно:

            1. Производная постоянной $-2$ равна нулю.

            2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            В результате: $1$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

         1. дифференцируем $2 x - 3$ почленно:

            1. Производная постоянной $-3$ равна нулю.

            2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $2$

            В результате: $2$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{1}{\left(2 x - 3\right)^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{\left(2 x - 3\right)^{2}} \cos{\left (\frac{x - 2}{2 x - 3} \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2}{\left(2 x - 3\right)^{2}} \sin{\left (\frac{x - 2}{2 x - 3} \right )} \cos{\left (\frac{x - 2}{2 x - 3} \right )}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\left(2 x - 3\right)^{2}} \sin{\left (\frac{2 x - 4}{2 x - 3} \right )}$

---

Ответ:

$\frac{1}{\left(2 x - 3\right)^{2}} \sin{\left (\frac{2 x - 4}{2 x - 3} \right )}$

Первая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

  /   1      2*(x - 2) \    / x - 2 \    / x - 2 \
2*|------- - ----------|*cos|-------|*sin|-------|
  |2*x - 3            2|    \2*x - 3/    \2*x - 3/
  \          (2*x - 3) /                          

$$2 \left(- \frac{2 x - 4}{\left(2 x - 3\right)^{2}} + \frac{1}{2 x - 3}\right) \sin{\left (\frac{x - 2}{2 x - 3} \right )} \cos{\left (\frac{x - 2}{2 x - 3} \right )}$$

Упростить

Вторая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

  /     2*(-2 + x)\ /   2/ -2 + x \ /     2*(-2 + x)\      2/ -2 + x \ /     2*(-2 + x)\        / -2 + x \    / -2 + x \\
2*|-1 + ----------|*|cos |--------|*|-1 + ----------| - sin |--------|*|-1 + ----------| + 4*cos|--------|*sin|--------||
  \      -3 + 2*x / \    \-3 + 2*x/ \      -3 + 2*x /       \-3 + 2*x/ \      -3 + 2*x /        \-3 + 2*x/    \-3 + 2*x//
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                 2                                                       
                                                       (-3 + 2*x)                                                        

$$\frac{2}{\left(2 x - 3\right)^{2}} \left(\frac{2 x - 4}{2 x - 3} - 1\right) \left(- \left(\frac{2 x - 4}{2 x - 3} - 1\right) \sin^{2}{\left (\frac{x - 2}{2 x - 3} \right )} + \left(\frac{2 x - 4}{2 x - 3} - 1\right) \cos^{2}{\left (\frac{x - 2}{2 x - 3} \right )} + 4 \sin{\left (\frac{x - 2}{2 x - 3} \right )} \cos{\left (\frac{x - 2}{2 x - 3} \right )}\right)$$

Упростить

Третья производная

[TeX]

[pretty]

[text]

                    /                                                                                                                             2                            \
  /     2*(-2 + x)\ |       / -2 + x \    / -2 + x \        2/ -2 + x \ /     2*(-2 + x)\        2/ -2 + x \ /     2*(-2 + x)\   /     2*(-2 + x)\     / -2 + x \    / -2 + x \|
8*|-1 + ----------|*|- 6*cos|--------|*sin|--------| - 3*cos |--------|*|-1 + ----------| + 3*sin |--------|*|-1 + ----------| + |-1 + ----------| *cos|--------|*sin|--------||
  \      -3 + 2*x / \       \-3 + 2*x/    \-3 + 2*x/         \-3 + 2*x/ \      -3 + 2*x /         \-3 + 2*x/ \      -3 + 2*x /   \      -3 + 2*x /     \-3 + 2*x/    \-3 + 2*x//
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                            3                                                                                   
                                                                                  (-3 + 2*x)                                                                                    

$$\frac{8}{\left(2 x - 3\right)^{3}} \left(\frac{2 x - 4}{2 x - 3} - 1\right) \left(\left(\frac{2 x - 4}{2 x - 3} - 1\right)^{2} \sin{\left (\frac{x - 2}{2 x - 3} \right )} \cos{\left (\frac{x - 2}{2 x - 3} \right )} + 3 \left(\frac{2 x - 4}{2 x - 3} - 1\right) \sin^{2}{\left (\frac{x - 2}{2 x - 3} \right )} - 3 \left(\frac{2 x - 4}{2 x - 3} - 1\right) \cos^{2}{\left (\frac{x - 2}{2 x - 3} \right )} - 6 \sin{\left (\frac{x - 2}{2 x - 3} \right )} \cos{\left (\frac{x - 2}{2 x - 3} \right )}\right)$$

Упростить