Производная (t*c*x^2+(t+c)*x+1)/(t*c*x^2+(t+c)*x+(k+1))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
       2                  
  t*c*x  + (t + c)*x + 1  
--------------------------
     2                    
t*c*x  + (t + c)*x + k + 1
x2ct+x(c+t)+1k+1+x2ct+x(c+t)\frac{x^{2} c t + x \left(c + t\right) + 1}{k + 1 + x^{2} c t + x \left(c + t\right)}
Подробное решение
  1. Применим правило производной частного:

    ddx(f(x)g(x))=1g2(x)(f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x))\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)

    f(x)=ctx2+x(c+t)+1f{\left (x \right )} = c t x^{2} + x \left(c + t\right) + 1 и g(x)=ctx2+k+x(c+t)+1g{\left (x \right )} = c t x^{2} + k + x \left(c + t\right) + 1.

    Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

    1. дифференцируем ctx2+x(c+t)+1c t x^{2} + x \left(c + t\right) + 1 почленно:

      1. Производная постоянной 11 равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

        1. В силу правила, применим: xx получим 11

        Таким образом, в результате: c+tc + t

      3. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

        1. В силу правила, применим: x2x^{2} получим 2x2 x

        Таким образом, в результате: 2ctx2 c t x

      В результате: 2ctx+c+t2 c t x + c + t

    Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

    1. дифференцируем ctx2+k+x(c+t)+1c t x^{2} + k + x \left(c + t\right) + 1 почленно:

      1. Производная постоянной 11 равна нулю.

      2. Производная постоянной kk равна нулю.

      3. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

        1. В силу правила, применим: xx получим 11

        Таким образом, в результате: c+tc + t

      4. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

        1. В силу правила, применим: x2x^{2} получим 2x2 x

        Таким образом, в результате: 2ctx2 c t x

      В результате: 2ctx+c+t2 c t x + c + t

    Теперь применим правило производной деления:

    1(ctx2+k+x(c+t)+1)2((2ctx+c+t)(ctx2+x(c+t)+1)+(2ctx+c+t)(ctx2+k+x(c+t)+1))\frac{1}{\left(c t x^{2} + k + x \left(c + t\right) + 1\right)^{2}} \left(- \left(2 c t x + c + t\right) \left(c t x^{2} + x \left(c + t\right) + 1\right) + \left(2 c t x + c + t\right) \left(c t x^{2} + k + x \left(c + t\right) + 1\right)\right)

  2. Теперь упростим:

    k(2ctx+c+t)(ctx2+k+x(c+t)+1)2\frac{k \left(2 c t x + c + t\right)}{\left(c t x^{2} + k + x \left(c + t\right) + 1\right)^{2}}


Ответ:

k(2ctx+c+t)(ctx2+k+x(c+t)+1)2\frac{k \left(2 c t x + c + t\right)}{\left(c t x^{2} + k + x \left(c + t\right) + 1\right)^{2}}

Первая производная [src]
                             /     2                \                   
     c + t + 2*c*t*x         \t*c*x  + (t + c)*x + 1/*(-c - t - 2*c*t*x)
-------------------------- + -------------------------------------------
     2                                                          2       
t*c*x  + (t + c)*x + k + 1          /     2                    \        
                                    \t*c*x  + (t + c)*x + k + 1/        
2ctx+c+tk+1+x2ct+x(c+t)+(x2ct+x(c+t)+1)(2ctxct)(k+1+x2ct+x(c+t))2\frac{2 c t x + c + t}{k + 1 + x^{2} c t + x \left(c + t\right)} + \frac{\left(x^{2} c t + x \left(c + t\right) + 1\right) \left(- 2 c t x - c - t\right)}{\left(k + 1 + x^{2} c t + x \left(c + t\right)\right)^{2}}
Вторая производная [src]
  /                           2                        2 /                     2\       /                     2\\
  |          (c + t + 2*c*t*x)        (c + t + 2*c*t*x) *\1 + x*(c + t) + c*t*x /   c*t*\1 + x*(c + t) + c*t*x /|
2*|c*t - -------------------------- + ------------------------------------------- - ----------------------------|
  |                               2                                      2                                    2 |
  |      1 + k + x*(c + t) + c*t*x           /                         2\            1 + k + x*(c + t) + c*t*x  |
  \                                          \1 + k + x*(c + t) + c*t*x /                                       /
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                     2                                           
                                            1 + k + x*(c + t) + c*t*x                                            
1ctx2+k+x(c+t)+1(2ct(ctx2+x(c+t)+1)ctx2+k+x(c+t)+1+2ct+2(2ctx+c+t)2(ctx2+x(c+t)+1)(ctx2+k+x(c+t)+1)22(2ctx+c+t)2ctx2+k+x(c+t)+1)\frac{1}{c t x^{2} + k + x \left(c + t\right) + 1} \left(- \frac{2 c t \left(c t x^{2} + x \left(c + t\right) + 1\right)}{c t x^{2} + k + x \left(c + t\right) + 1} + 2 c t + \frac{2 \left(2 c t x + c + t\right)^{2} \left(c t x^{2} + x \left(c + t\right) + 1\right)}{\left(c t x^{2} + k + x \left(c + t\right) + 1\right)^{2}} - \frac{2 \left(2 c t x + c + t\right)^{2}}{c t x^{2} + k + x \left(c + t\right) + 1}\right)
Третья производная [src]
                    /                     2                                2 /                     2\         /                     2\\
                    |    (c + t + 2*c*t*x)                (c + t + 2*c*t*x) *\1 + x*(c + t) + c*t*x /   2*c*t*\1 + x*(c + t) + c*t*x /|
6*(c + t + 2*c*t*x)*|-------------------------- - 2*c*t - ------------------------------------------- + ------------------------------|
                    |                         2                                              2                                     2  |
                    |1 + k + x*(c + t) + c*t*x                   /                         2\             1 + k + x*(c + t) + c*t*x   |
                    \                                            \1 + k + x*(c + t) + c*t*x /                                         /
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                 2                                                     
                                                     /                         2\                                                      
                                                     \1 + k + x*(c + t) + c*t*x /                                                      
6(ctx2+k+x(c+t)+1)2(2ctx+c+t)(2ct(ctx2+x(c+t)+1)ctx2+k+x(c+t)+12ct(2ctx+c+t)2(ctx2+x(c+t)+1)(ctx2+k+x(c+t)+1)2+(2ctx+c+t)2ctx2+k+x(c+t)+1)\frac{6}{\left(c t x^{2} + k + x \left(c + t\right) + 1\right)^{2}} \left(2 c t x + c + t\right) \left(\frac{2 c t \left(c t x^{2} + x \left(c + t\right) + 1\right)}{c t x^{2} + k + x \left(c + t\right) + 1} - 2 c t - \frac{\left(2 c t x + c + t\right)^{2} \left(c t x^{2} + x \left(c + t\right) + 1\right)}{\left(c t x^{2} + k + x \left(c + t\right) + 1\right)^{2}} + \frac{\left(2 c t x + c + t\right)^{2}}{c t x^{2} + k + x \left(c + t\right) + 1}\right)