Производная (t*c*x^2+(t+c)*x+1)/(t*c*x^2+(t+c)*x+(k+1))

()'

↑ Функция f () ? - производная -го порядка

Решение

Вы ввели
[LaTeX]
       2                  
  t*c*x  + (t + c)*x + 1  
--------------------------
     2                    
t*c*x  + (t + c)*x + k + 1
$$\frac{x^{2} c t + x \left(c + t\right) + 1}{k + 1 + x^{2} c t + x \left(c + t\right)}$$
Подробное решение
[LaTeX]
  1. Применим правило производной частного:

    и .

    Чтобы найти :

    1. дифференцируем почленно:

      1. Производная постоянной равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

        1. В силу правила, применим: получим

        Таким образом, в результате:

      3. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

        1. В силу правила, применим: получим

        Таким образом, в результате:

      В результате:

    Чтобы найти :

    1. дифференцируем почленно:

      1. Производная постоянной равна нулю.

      2. Производная постоянной равна нулю.

      3. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

        1. В силу правила, применим: получим

        Таким образом, в результате:

      4. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

        1. В силу правила, применим: получим

        Таким образом, в результате:

      В результате:

    Теперь применим правило производной деления:

  2. Теперь упростим:


Ответ:

Первая производная
[LaTeX]
                             /     2                \                   
     c + t + 2*c*t*x         \t*c*x  + (t + c)*x + 1/*(-c - t - 2*c*t*x)
-------------------------- + -------------------------------------------
     2                                                          2       
t*c*x  + (t + c)*x + k + 1          /     2                    \        
                                    \t*c*x  + (t + c)*x + k + 1/        
$$\frac{2 c t x + c + t}{k + 1 + x^{2} c t + x \left(c + t\right)} + \frac{\left(x^{2} c t + x \left(c + t\right) + 1\right) \left(- 2 c t x - c - t\right)}{\left(k + 1 + x^{2} c t + x \left(c + t\right)\right)^{2}}$$
Вторая производная
[LaTeX]
  /                           2                        2 /                     2\       /                     2\\
  |          (c + t + 2*c*t*x)        (c + t + 2*c*t*x) *\1 + x*(c + t) + c*t*x /   c*t*\1 + x*(c + t) + c*t*x /|
2*|c*t - -------------------------- + ------------------------------------------- - ----------------------------|
  |                               2                                      2                                    2 |
  |      1 + k + x*(c + t) + c*t*x           /                         2\            1 + k + x*(c + t) + c*t*x  |
  \                                          \1 + k + x*(c + t) + c*t*x /                                       /
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                     2                                           
                                            1 + k + x*(c + t) + c*t*x                                            
$$\frac{1}{c t x^{2} + k + x \left(c + t\right) + 1} \left(- \frac{2 c t \left(c t x^{2} + x \left(c + t\right) + 1\right)}{c t x^{2} + k + x \left(c + t\right) + 1} + 2 c t + \frac{2 \left(2 c t x + c + t\right)^{2} \left(c t x^{2} + x \left(c + t\right) + 1\right)}{\left(c t x^{2} + k + x \left(c + t\right) + 1\right)^{2}} - \frac{2 \left(2 c t x + c + t\right)^{2}}{c t x^{2} + k + x \left(c + t\right) + 1}\right)$$
Третья производная
[LaTeX]
                    /                     2                                2 /                     2\         /                     2\\
                    |    (c + t + 2*c*t*x)                (c + t + 2*c*t*x) *\1 + x*(c + t) + c*t*x /   2*c*t*\1 + x*(c + t) + c*t*x /|
6*(c + t + 2*c*t*x)*|-------------------------- - 2*c*t - ------------------------------------------- + ------------------------------|
                    |                         2                                              2                                     2  |
                    |1 + k + x*(c + t) + c*t*x                   /                         2\             1 + k + x*(c + t) + c*t*x   |
                    \                                            \1 + k + x*(c + t) + c*t*x /                                         /
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                 2                                                     
                                                     /                         2\                                                      
                                                     \1 + k + x*(c + t) + c*t*x /                                                      
$$\frac{6}{\left(c t x^{2} + k + x \left(c + t\right) + 1\right)^{2}} \left(2 c t x + c + t\right) \left(\frac{2 c t \left(c t x^{2} + x \left(c + t\right) + 1\right)}{c t x^{2} + k + x \left(c + t\right) + 1} - 2 c t - \frac{\left(2 c t x + c + t\right)^{2} \left(c t x^{2} + x \left(c + t\right) + 1\right)}{\left(c t x^{2} + k + x \left(c + t\right) + 1\right)^{2}} + \frac{\left(2 c t x + c + t\right)^{2}}{c t x^{2} + k + x \left(c + t\right) + 1}\right)$$