Производная (t*c*x^2+(t+c)*x+1)/(t*c*x^2+(t+c)*x+(k+1))

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

       2                  
  t*c*x  + (t + c)*x + 1  
--------------------------
     2                    
t*c*x  + (t + c)*x + k + 1

$$\frac{x^{2} c t + x \left(c + t\right) + 1}{k + 1 + x^{2} c t + x \left(c + t\right)}$$

Подробное решение

[TeX]

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = c t x^{2} + x \left(c + t\right) + 1$ и $g{\left (x \right )} = c t x^{2} + k + x \left(c + t\right) + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $c t x^{2} + x \left(c + t\right) + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $c + t$

      3. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         Таким образом, в результате: $2 c t x$

      В результате: $2 c t x + c + t$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $c t x^{2} + k + x \left(c + t\right) + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная постоянной $k$ равна нулю.

      3. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $c + t$

      4. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         Таким образом, в результате: $2 c t x$

      В результате: $2 c t x + c + t$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(c t x^{2} + k + x \left(c + t\right) + 1\right)^{2}} \left(- \left(2 c t x + c + t\right) \left(c t x^{2} + x \left(c + t\right) + 1\right) + \left(2 c t x + c + t\right) \left(c t x^{2} + k + x \left(c + t\right) + 1\right)\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{k \left(2 c t x + c + t\right)}{\left(c t x^{2} + k + x \left(c + t\right) + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{k \left(2 c t x + c + t\right)}{\left(c t x^{2} + k + x \left(c + t\right) + 1\right)^{2}}$

Первая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

                             /     2                \                   
     c + t + 2*c*t*x         \t*c*x  + (t + c)*x + 1/*(-c - t - 2*c*t*x)
-------------------------- + -------------------------------------------
     2                                                          2       
t*c*x  + (t + c)*x + k + 1          /     2                    \        
                                    \t*c*x  + (t + c)*x + k + 1/        

$$\frac{2 c t x + c + t}{k + 1 + x^{2} c t + x \left(c + t\right)} + \frac{\left(x^{2} c t + x \left(c + t\right) + 1\right) \left(- 2 c t x - c - t\right)}{\left(k + 1 + x^{2} c t + x \left(c + t\right)\right)^{2}}$$

Упростить

Вторая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

  /                           2                        2 /                     2\       /                     2\\
  |          (c + t + 2*c*t*x)        (c + t + 2*c*t*x) *\1 + x*(c + t) + c*t*x /   c*t*\1 + x*(c + t) + c*t*x /|
2*|c*t - -------------------------- + ------------------------------------------- - ----------------------------|
  |                               2                                      2                                    2 |
  |      1 + k + x*(c + t) + c*t*x           /                         2\            1 + k + x*(c + t) + c*t*x  |
  \                                          \1 + k + x*(c + t) + c*t*x /                                       /
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                     2                                           
                                            1 + k + x*(c + t) + c*t*x                                            

$$\frac{1}{c t x^{2} + k + x \left(c + t\right) + 1} \left(- \frac{2 c t \left(c t x^{2} + x \left(c + t\right) + 1\right)}{c t x^{2} + k + x \left(c + t\right) + 1} + 2 c t + \frac{2 \left(2 c t x + c + t\right)^{2} \left(c t x^{2} + x \left(c + t\right) + 1\right)}{\left(c t x^{2} + k + x \left(c + t\right) + 1\right)^{2}} - \frac{2 \left(2 c t x + c + t\right)^{2}}{c t x^{2} + k + x \left(c + t\right) + 1}\right)$$

Упростить

Третья производная

[TeX]

[pretty]

[text]

                    /                     2                                2 /                     2\         /                     2\\
                    |    (c + t + 2*c*t*x)                (c + t + 2*c*t*x) *\1 + x*(c + t) + c*t*x /   2*c*t*\1 + x*(c + t) + c*t*x /|
6*(c + t + 2*c*t*x)*|-------------------------- - 2*c*t - ------------------------------------------- + ------------------------------|
                    |                         2                                              2                                     2  |
                    |1 + k + x*(c + t) + c*t*x                   /                         2\             1 + k + x*(c + t) + c*t*x   |
                    \                                            \1 + k + x*(c + t) + c*t*x /                                         /
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                 2                                                     
                                                     /                         2\                                                      
                                                     \1 + k + x*(c + t) + c*t*x /                                                      

$$\frac{6}{\left(c t x^{2} + k + x \left(c + t\right) + 1\right)^{2}} \left(2 c t x + c + t\right) \left(\frac{2 c t \left(c t x^{2} + x \left(c + t\right) + 1\right)}{c t x^{2} + k + x \left(c + t\right) + 1} - 2 c t - \frac{\left(2 c t x + c + t\right)^{2} \left(c t x^{2} + x \left(c + t\right) + 1\right)}{\left(c t x^{2} + k + x \left(c + t\right) + 1\right)^{2}} + \frac{\left(2 c t x + c + t\right)^{2}}{c t x^{2} + k + x \left(c + t\right) + 1}\right)$$

Упростить