Производная -(40)/(sin(8*x+2)^(2))

Вы ввели

     -40     
-------------
   2         
sin (8*x + 2)

$$- \frac{40}{\sin^{2}{\left(8 x + 2 \right)}}$$

d /     -40     \
--|-------------|
dx|   2         |
  \sin (8*x + 2)/

$$\frac{d}{d x} \left(- \frac{40}{\sin^{2}{\left(8 x + 2 \right)}}\right)$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = \sin^{2}{\left(8 x + 2 \right)}$.

   2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin^{2}{\left(8 x + 2 \right)}$:

      1. Заменим $u = \sin{\left(8 x + 2 \right)}$.

      2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(8 x + 2 \right)}$:

         1. Заменим $u = 8 x + 2$.

         2. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(8 x + 2\right)$:

            1. дифференцируем $8 x + 2$ почленно:

               1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                  1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                  Таким образом, в результате: $8$

               2. Производная постоянной $2$ равна нулю.

               В результате: $8$

            В результате последовательности правил:

            $8 \cos{\left(8 x + 2 \right)}$

         В результате последовательности правил:

         $16 \sin{\left(8 x + 2 \right)} \cos{\left(8 x + 2 \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{16 \cos{\left(8 x + 2 \right)}}{\sin^{3}{\left(8 x + 2 \right)}}$

   Таким образом, в результате: $\frac{640 \cos{\left(8 x + 2 \right)}}{\sin^{3}{\left(8 x + 2 \right)}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{640 \cos{\left(8 x + 2 \right)}}{\sin^{3}{\left(8 x + 2 \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{640 \cos{\left(8 x + 2 \right)}}{\sin^{3}{\left(8 x + 2 \right)}}$

Первая производная

640*cos(8*x + 2)
----------------
    3           
 sin (8*x + 2)  

$$\frac{640 \cos{\left(8 x + 2 \right)}}{\sin^{3}{\left(8 x + 2 \right)}}$$

Вторая производная

      /         2             \
      |    3*cos (2*(1 + 4*x))|
-5120*|1 + -------------------|
      |        2              |
      \     sin (2*(1 + 4*x)) /
-------------------------------
          2                    
       sin (2*(1 + 4*x))       

$$- \frac{5120 \cdot \left(1 + \frac{3 \cos^{2}{\left(2 \cdot \left(4 x + 1\right) \right)}}{\sin^{2}{\left(2 \cdot \left(4 x + 1\right) \right)}}\right)}{\sin^{2}{\left(2 \cdot \left(4 x + 1\right) \right)}}$$

Третья производная

       /         2             \                 
       |    3*cos (2*(1 + 4*x))|                 
163840*|2 + -------------------|*cos(2*(1 + 4*x))
       |        2              |                 
       \     sin (2*(1 + 4*x)) /                 
-------------------------------------------------
                   3                             
                sin (2*(1 + 4*x))                

$$\frac{163840 \cdot \left(2 + \frac{3 \cos^{2}{\left(2 \cdot \left(4 x + 1\right) \right)}}{\sin^{2}{\left(2 \cdot \left(4 x + 1\right) \right)}}\right) \cos{\left(2 \cdot \left(4 x + 1\right) \right)}}{\sin^{3}{\left(2 \cdot \left(4 x + 1\right) \right)}}$$

График