Производная (sqrt(x)+1)*(1/(sqrt(x))-1)

Вы ввели

/  ___    \ /  1      \
\\/ x  + 1/*|----- - 1|
            |  ___    |
            \\/ x     /

$$\left(-1 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) \left(\sqrt{x} + 1\right)$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \left(- \sqrt{x} + 1\right) \left(\sqrt{x} + 1\right)$ и $g{\left (x \right )} = \sqrt{x}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

      $f{\left (x \right )} = \sqrt{x} + 1$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $\sqrt{x} + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

         В результате: $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

      $g{\left (x \right )} = - \sqrt{x} + 1$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $- \sqrt{x} + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

            Таким образом, в результате: $- \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

         В результате: $- \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

      В результате: $\frac{- \sqrt{x} + 1}{2 \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} + 1}{2 \sqrt{x}}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x} \left(\sqrt{x} \left(\frac{- \sqrt{x} + 1}{2 \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} + 1}{2 \sqrt{x}}\right) - \frac{1}{2 \sqrt{x}} \left(- \sqrt{x} + 1\right) \left(\sqrt{x} + 1\right)\right)$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{x + 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

---

Ответ:

$- \frac{x + 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Первая производная

  1                  
----- - 1            
  ___         ___    
\/ x        \/ x  + 1
--------- - ---------
     ___         3/2 
 2*\/ x       2*x    

$$\frac{-1 + \frac{1}{\sqrt{x}}}{2 \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} + 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$$

Вторая производная

             1                  
       1 - -----                
             ___     /      ___\
  2        \/ x    3*\1 + \/ x /
- -- + --------- + -------------
   2       3/2           5/2    
  x       x             x       
--------------------------------
               4                

$$\frac{1}{4} \left(- \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \left(1 - \frac{1}{\sqrt{x}}\right) + \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} \left(3 \sqrt{x} + 3\right)\right)$$

Третья производная

  /           1                  \
  |     1 - -----                |
  |           ___     /      ___\|
  |4        \/ x    5*\1 + \/ x /|
3*|-- - --------- - -------------|
  | 3       5/2           7/2    |
  \x       x             x       /
----------------------------------
                8                 

$$\frac{1}{8} \left(\frac{12}{x^{3}} - \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} \left(3 - \frac{3}{\sqrt{x}}\right) - \frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} \left(15 \sqrt{x} + 15\right)\right)$$