Производная 1/(sqrt(x)+1)

Вы ввели

      1    
1*---------
    ___    
  \/ x  + 1

$$1 \cdot \frac{1}{\sqrt{x} + 1}$$

d /      1    \
--|1*---------|
dx|    ___    |
  \  \/ x  + 1/

$$\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{x} + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = \sqrt{x} + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $\sqrt{x} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

      В результате: $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $- \frac{1}{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} + 1\right)^{2}}$

Первая производная

        -1          
--------------------
                   2
    ___ /  ___    \ 
2*\/ x *\\/ x  + 1/ 

$$- \frac{1}{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

 1           2      
---- + -------------
 3/2     /      ___\
x      x*\1 + \/ x /
--------------------
                2   
     /      ___\    
   4*\1 + \/ x /    

$$\frac{\frac{2}{x \left(\sqrt{x} + 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{4 \left(\sqrt{x} + 1\right)^{2}}$$

Третья производная

   / 1           2                  2        \
-3*|---- + -------------- + -----------------|
   | 5/2    2 /      ___\                   2|
   |x      x *\1 + \/ x /    3/2 /      ___\ |
   \                        x   *\1 + \/ x / /
----------------------------------------------
                             2                
                  /      ___\                 
                8*\1 + \/ x /                 

$$- \frac{3 \cdot \left(\frac{2}{x^{2} \left(\sqrt{x} + 1\right)} + \frac{2}{x^{\frac{3}{2}} \left(\sqrt{x} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}\right)}{8 \left(\sqrt{x} + 1\right)^{2}}$$

График