Производная sqrt(x)*exp(-x)

  ___  -x
\/ x *e  

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \sqrt{x}$ и $g{\left (x \right )} = e^{x}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная $e^{x}$ само оно.

   Теперь применим правило производной деления:

   $\left(- \sqrt{x} e^{x} + \frac{e^{x}}{2 \sqrt{x}}\right) e^{- 2 x}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{e^{- x}}{\sqrt{x}} \left(- x + \frac{1}{2}\right)$

Ответ:

$\frac{e^{- x}}{\sqrt{x}} \left(- x + \frac{1}{2}\right)$

   -x              
  e         ___  -x
------- - \/ x *e  
    ___            
2*\/ x             

/  ___     1       1   \  -x
|\/ x  - ----- - ------|*e  
|          ___      3/2|    
\        \/ x    4*x   /    

/    ___      3        3        3   \  -x
|- \/ x  + ------- + ------ + ------|*e  
|              ___      3/2      5/2|    
\          2*\/ x    4*x      8*x   /