Производная (x^2*(x-9))/2*(x-8)^2

 2                 
x *(x - 9)        2
----------*(x - 8) 
    2              

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x^{2} \left(x - 9\right) \left(x - 8\right)^{2}$ и $g{\left (x \right )} = 2$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )} h{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} h{\left (x \right )} + f{\left (x \right )} h{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} h{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

      $f{\left (x \right )} = x^{2}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      $g{\left (x \right )} = \left(x - 8\right)^{2}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. Заменим $u = x - 8$.

      2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x - 8\right)$:

         1. дифференцируем $x - 8$ почленно:

            1. Производная постоянной $-8$ равна нулю.

            2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            В результате: $1$

         В результате последовательности правил:

         $2 x - 16$

      $h{\left (x \right )} = x - 9$; найдём $\frac{d}{d x} h{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $x - 9$ почленно:

         1. Производная постоянной $-9$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      В результате: $x^{2} \left(x - 9\right) \left(2 x - 16\right) + x^{2} \left(x - 8\right)^{2} + 2 x \left(x - 9\right) \left(x - 8\right)^{2}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная постоянной $2$ равна нулю.

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{x^{2}}{2} \left(x - 9\right) \left(2 x - 16\right) + \frac{x^{2}}{2} \left(x - 8\right)^{2} + x \left(x - 9\right) \left(x - 8\right)^{2}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x}{2} \left(5 x^{3} - 100 x^{2} + 624 x - 1152\right)$

Ответ:

$\frac{x}{2} \left(5 x^{3} - 100 x^{2} + 624 x - 1152\right)$

         / 2            \    2                    
       2 |x             |   x *(-16 + 2*x)*(x - 9)
(x - 8) *|-- + x*(x - 9)| + ----------------------
         \2             /             2           

 2             2                      2                                                         
x *(-9 + x) + x *(-8 + x) + 3*(-8 + x) *(-3 + x) + 2*x*(-9 + x)*(-8 + x) + 3*x*(-8 + x)*(-6 + x)

   2             2                                                                           
3*x  + 3*(-8 + x)  + 2*(-9 + x)*(-8 + x) + 4*x*(-8 + x) + 6*x*(-9 + x) + 12*(-8 + x)*(-3 + x)