Производная функции/ От одной переменной/ y' = ((x^3-7*x^4+12)/(4-x^3))'

Производная (x^3-7*x^4+12)/(4-x^3)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

Примеры

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
 3      4     
x  - 7*x  + 12
--------------
         3    
    4 - x
−7x4+x3+12−x3+4\frac{- 7 x^{4} + x^{3} + 12}{- x^{3} + 4}
Подробное решение

  1. Применим правило производной частного:

    ddx(f(x)g(x))=1g2(x)(−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x))\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)

    f(x)=−7x4+x3+12f{\left (x \right )} = - 7 x^{4} + x^{3} + 12 и g(x)=−x3+4g{\left (x \right )} = - x^{3} + 4.

    Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

    1. дифференцируем −7x4+x3+12- 7 x^{4} + x^{3} + 12 почленно:

      1. Производная постоянной 1212 равна нулю.

      2. В силу правила, применим: x3x^{3} получим 3x23 x^{2}

      3. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

        1. В силу правила, применим: x4x^{4} получим 4x34 x^{3}

        Таким образом, в результате: −28x3- 28 x^{3}

      В результате: −28x3+3x2- 28 x^{3} + 3 x^{2}

    Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

    1. дифференцируем −x3+4- x^{3} + 4 почленно:

      1. Производная постоянной 44 равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

        1. В силу правила, применим: x3x^{3} получим 3x23 x^{2}

        Таким образом, в результате: −3x2- 3 x^{2}

      В результате: −3x2- 3 x^{2}

    Теперь применим правило производной деления:

    1(−x3+4)2(3x2(−7x4+x3+12)+(−28x3+3x2)(−x3+4))\frac{1}{\left(- x^{3} + 4\right)^{2}} \left(3 x^{2} \left(- 7 x^{4} + x^{3} + 12\right) + \left(- 28 x^{3} + 3 x^{2}\right) \left(- x^{3} + 4\right)\right)

  2. Теперь упростим:

    x2(7x4−112x+48)x6−8x3+16\frac{x^{2} \left(7 x^{4} - 112 x + 48\right)}{x^{6} - 8 x^{3} + 16}

Ответ:

x2(7x4−112x+48)x6−8x3+16\frac{x^{2} \left(7 x^{4} - 112 x + 48\right)}{x^{6} - 8 x^{3} + 16}

График
02468-8-6-4-2-1010-10001000
Первая производная [src]
      3      2      2 / 3      4     \
- 28*x  + 3*x    3*x *\x  - 7*x  + 12/
-------------- + ---------------------
         3                     2      
    4 - x              /     3\       
                       \4 - x /
3x2(−x3+4)2(−7x4+x3+12)+−28x3+3x2−x3+4\frac{3 x^{2}}{\left(- x^{3} + 4\right)^{2}} \left(- 7 x^{4} + x^{3} + 12\right) + \frac{- 28 x^{3} + 3 x^{2}}{- x^{3} + 4}
Упростить
Вторая производная [src]
    /                  3      4    3                  3 /      3      4\\
    |            12 + x  - 7*x    x *(-3 + 28*x)   3*x *\12 + x  - 7*x /|
6*x*|-1 + 14*x + -------------- - -------------- - ---------------------|
    |                     3                3                      2     |
    |               -4 + x           -4 + x              /      3\      |
    \                                                    \-4 + x /      /
-------------------------------------------------------------------------
                                       3                                 
                                 -4 + x
6xx3−4(−x3(28x−3)x3−4−3x3(x3−4)2(−7x4+x3+12)+14x−1+1x3−4(−7x4+x3+12))\frac{6 x}{x^{3} - 4} \left(- \frac{x^{3} \left(28 x - 3\right)}{x^{3} - 4} - \frac{3 x^{3}}{\left(x^{3} - 4\right)^{2}} \left(- 7 x^{4} + x^{3} + 12\right) + 14 x - 1 + \frac{1}{x^{3} - 4} \left(- 7 x^{4} + x^{3} + 12\right)\right)
Упростить
Третья производная [src]
  /                  3      4       3 /      3      4\      3                  3                  6                   6 /      3      4\\
  |            12 + x  - 7*x    18*x *\12 + x  - 7*x /   9*x *(-1 + 14*x)   3*x *(-3 + 28*x)   9*x *(-3 + 28*x)   27*x *\12 + x  - 7*x /|
6*|-1 + 28*x + -------------- - ---------------------- - ---------------- - ---------------- + ---------------- + ----------------------|
  |                     3                      2                   3                  3                    2                     3      |
  |               -4 + x              /      3\              -4 + x             -4 + x            /      3\             /      3\       |
  \                                   \-4 + x /                                                   \-4 + x /             \-4 + x /       /
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                       3                                                                 
                                                                 -4 + x
1x3−4(54x6(28x−3)(x3−4)2+162x6(x3−4)3(−7x4+x3+12)−54x3(14x−1)x3−4−18x3(28x−3)x3−4−108x3(x3−4)2(−7x4+x3+12)+168x−6+1x3−4(−42x4+6x3+72))\frac{1}{x^{3} - 4} \left(\frac{54 x^{6} \left(28 x - 3\right)}{\left(x^{3} - 4\right)^{2}} + \frac{162 x^{6}}{\left(x^{3} - 4\right)^{3}} \left(- 7 x^{4} + x^{3} + 12\right) - \frac{54 x^{3} \left(14 x - 1\right)}{x^{3} - 4} - \frac{18 x^{3} \left(28 x - 3\right)}{x^{3} - 4} - \frac{108 x^{3}}{\left(x^{3} - 4\right)^{2}} \left(- 7 x^{4} + x^{3} + 12\right) + 168 x - 6 + \frac{1}{x^{3} - 4} \left(- 42 x^{4} + 6 x^{3} + 72\right)\right)
Упростить