Производная (x^3-7*x^4+12)/(4-x^3)

Вы ввели

 3      4     
x  - 7*x  + 12
--------------
         3    
    4 - x     

$$\frac{- 7 x^{4} + x^{3} + 12}{- x^{3} + 4}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = - 7 x^{4} + x^{3} + 12$ и $g{\left (x \right )} = - x^{3} + 4$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $- 7 x^{4} + x^{3} + 12$ почленно:

      1. Производная постоянной $12$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

      3. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x^{4}$ получим $4 x^{3}$

         Таким образом, в результате: $- 28 x^{3}$

      В результате: $- 28 x^{3} + 3 x^{2}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $- x^{3} + 4$ почленно:

      1. Производная постоянной $4$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

         Таким образом, в результате: $- 3 x^{2}$

      В результате: $- 3 x^{2}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(- x^{3} + 4\right)^{2}} \left(3 x^{2} \left(- 7 x^{4} + x^{3} + 12\right) + \left(- 28 x^{3} + 3 x^{2}\right) \left(- x^{3} + 4\right)\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x^{2} \left(7 x^{4} - 112 x + 48\right)}{x^{6} - 8 x^{3} + 16}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2} \left(7 x^{4} - 112 x + 48\right)}{x^{6} - 8 x^{3} + 16}$

Первая производная

      3      2      2 / 3      4     \
- 28*x  + 3*x    3*x *\x  - 7*x  + 12/
-------------- + ---------------------
         3                     2      
    4 - x              /     3\       
                       \4 - x /       

$$\frac{3 x^{2}}{\left(- x^{3} + 4\right)^{2}} \left(- 7 x^{4} + x^{3} + 12\right) + \frac{- 28 x^{3} + 3 x^{2}}{- x^{3} + 4}$$

Упростить

Вторая производная

    /                  3      4    3                  3 /      3      4\\
    |            12 + x  - 7*x    x *(-3 + 28*x)   3*x *\12 + x  - 7*x /|
6*x*|-1 + 14*x + -------------- - -------------- - ---------------------|
    |                     3                3                      2     |
    |               -4 + x           -4 + x              /      3\      |
    \                                                    \-4 + x /      /
-------------------------------------------------------------------------
                                       3                                 
                                 -4 + x                                  

$$\frac{6 x}{x^{3} - 4} \left(- \frac{x^{3} \left(28 x - 3\right)}{x^{3} - 4} - \frac{3 x^{3}}{\left(x^{3} - 4\right)^{2}} \left(- 7 x^{4} + x^{3} + 12\right) + 14 x - 1 + \frac{1}{x^{3} - 4} \left(- 7 x^{4} + x^{3} + 12\right)\right)$$

Упростить

Третья производная

  /                  3      4       3 /      3      4\      3                  3                  6                   6 /      3      4\\
  |            12 + x  - 7*x    18*x *\12 + x  - 7*x /   9*x *(-1 + 14*x)   3*x *(-3 + 28*x)   9*x *(-3 + 28*x)   27*x *\12 + x  - 7*x /|
6*|-1 + 28*x + -------------- - ---------------------- - ---------------- - ---------------- + ---------------- + ----------------------|
  |                     3                      2                   3                  3                    2                     3      |
  |               -4 + x              /      3\              -4 + x             -4 + x            /      3\             /      3\       |
  \                                   \-4 + x /                                                   \-4 + x /             \-4 + x /       /
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                       3                                                                 
                                                                 -4 + x                                                                  

$$\frac{1}{x^{3} - 4} \left(\frac{54 x^{6} \left(28 x - 3\right)}{\left(x^{3} - 4\right)^{2}} + \frac{162 x^{6}}{\left(x^{3} - 4\right)^{3}} \left(- 7 x^{4} + x^{3} + 12\right) - \frac{54 x^{3} \left(14 x - 1\right)}{x^{3} - 4} - \frac{18 x^{3} \left(28 x - 3\right)}{x^{3} - 4} - \frac{108 x^{3}}{\left(x^{3} - 4\right)^{2}} \left(- 7 x^{4} + x^{3} + 12\right) + 168 x - 6 + \frac{1}{x^{3} - 4} \left(- 42 x^{4} + 6 x^{3} + 72\right)\right)$$

Упростить