Производная e^x*(1-e^(-x)/x^2)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
   /     -x\
 x |    E  |
E *|1 - ---|
   |      2|
   \     x /
ex(1exx2)e^{x} \left(1 - \frac{e^{- x}}{x^{2}}\right)
Подробное решение
  1. Применим правило производной частного:

    ddx(f(x)g(x))=1g2(x)(f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x))\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)

    f(x)=(x2ex1)exf{\left (x \right )} = \left(x^{2} e^{x} - 1\right) e^{x} и g(x)=x2exg{\left (x \right )} = x^{2} e^{x}.

    Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

    1. Применяем правило производной умножения:

      ddx(f(x)g(x))=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}

      f(x)=x2ex1f{\left (x \right )} = x^{2} e^{x} - 1; найдём ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

      1. дифференцируем x2ex1x^{2} e^{x} - 1 почленно:

        1. Производная постоянной 1-1 равна нулю.

        2. Применяем правило производной умножения:

          ddx(f(x)g(x))=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}

          f(x)=x2f{\left (x \right )} = x^{2}; найдём ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

          1. В силу правила, применим: x2x^{2} получим 2x2 x

          g(x)=exg{\left (x \right )} = e^{x}; найдём ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

          1. Производная exe^{x} само оно.

          В результате: x2ex+2xexx^{2} e^{x} + 2 x e^{x}

        В результате: x2ex+2xexx^{2} e^{x} + 2 x e^{x}

      g(x)=exg{\left (x \right )} = e^{x}; найдём ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

      1. Производная exe^{x} само оно.

      В результате: (x2ex1)ex+(x2ex+2xex)ex\left(x^{2} e^{x} - 1\right) e^{x} + \left(x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}\right) e^{x}

    Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

    1. Применяем правило производной умножения:

      ddx(f(x)g(x))=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}

      f(x)=x2f{\left (x \right )} = x^{2}; найдём ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

      1. В силу правила, применим: x2x^{2} получим 2x2 x

      g(x)=exg{\left (x \right )} = e^{x}; найдём ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

      1. Производная exe^{x} само оно.

      В результате: x2ex+2xexx^{2} e^{x} + 2 x e^{x}

    Теперь применим правило производной деления:

    1x4(x2((x2ex1)ex+(x2ex+2xex)ex)ex(x2ex1)(x2ex+2xex)ex)e2x\frac{1}{x^{4}} \left(x^{2} \left(\left(x^{2} e^{x} - 1\right) e^{x} + \left(x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}\right) e^{x}\right) e^{x} - \left(x^{2} e^{x} - 1\right) \left(x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}\right) e^{x}\right) e^{- 2 x}

  2. Теперь упростим:

    ex+2x3e^{x} + \frac{2}{x^{3}}


Ответ:

ex+2x3e^{x} + \frac{2}{x^{3}}

График
02468-8-6-4-2-1010-2500025000
Первая производная [src]
/     -x\      / -x      -x\   
|    E  |  x   |e     2*e  |  x
|1 - ---|*e  + |--- + -----|*e 
|      2|      |  2      3 |   
\     x /      \ x      x  /   
(1exx2)ex+(exx2+2x3ex)ex\left(1 - \frac{e^{- x}}{x^{2}}\right) e^{x} + \left(\frac{e^{- x}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}} e^{- x}\right) e^{x}
Вторая производная [src]
                   4   6             
               1 + - + --     /    2\
/     -x\          x    2   2*|1 + -|
|    e  |  x           x      \    x/
|1 - ---|*e  - ---------- + ---------
|      2|           2            2   
\     x /          x            x    
(1exx2)ex+1x2(2+4x)1x2(1+4x+6x2)\left(1 - \frac{e^{- x}}{x^{2}}\right) e^{x} + \frac{1}{x^{2}} \left(2 + \frac{4}{x}\right) - \frac{1}{x^{2}} \left(1 + \frac{4}{x} + \frac{6}{x^{2}}\right)
Третья производная [src]
    6   18   24                    /    4   6 \            
1 + - + -- + --                  3*|1 + - + --|     /    2\
    x    2    3   /     -x\        |    x    2|   3*|1 + -|
        x    x    |    e  |  x     \        x /     \    x/
--------------- + |1 - ---|*e  - -------------- + ---------
        2         |      2|             2              2   
       x          \     x /            x              x    
(1exx2)ex+1x2(3+6x)1x2(3+12x+18x2)+1x2(1+6x+18x2+24x3)\left(1 - \frac{e^{- x}}{x^{2}}\right) e^{x} + \frac{1}{x^{2}} \left(3 + \frac{6}{x}\right) - \frac{1}{x^{2}} \left(3 + \frac{12}{x} + \frac{18}{x^{2}}\right) + \frac{1}{x^{2}} \left(1 + \frac{6}{x} + \frac{18}{x^{2}} + \frac{24}{x^{3}}\right)