Производная e^x*(1-e^(-x)/x^2)

Вы ввели

   /     -x\
 x |    E  |
E *|1 - ---|
   |      2|
   \     x /

$$e^{x} \left(1 - \frac{e^{- x}}{x^{2}}\right)$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \left(x^{2} e^{x} - 1\right) e^{x}$ и $g{\left (x \right )} = x^{2} e^{x}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

      $f{\left (x \right )} = x^{2} e^{x} - 1$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $x^{2} e^{x} - 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

         2. Применяем правило производной умножения:

            $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

            $f{\left (x \right )} = x^{2}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

            1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

            $g{\left (x \right )} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

            1. Производная $e^{x}$ само оно.

            В результате: $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

         В результате: $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

      $g{\left (x \right )} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. Производная $e^{x}$ само оно.

      В результате: $\left(x^{2} e^{x} - 1\right) e^{x} + \left(x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}\right) e^{x}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

      $f{\left (x \right )} = x^{2}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      $g{\left (x \right )} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. Производная $e^{x}$ само оно.

      В результате: $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{4}} \left(x^{2} \left(\left(x^{2} e^{x} - 1\right) e^{x} + \left(x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}\right) e^{x}\right) e^{x} - \left(x^{2} e^{x} - 1\right) \left(x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}\right) e^{x}\right) e^{- 2 x}$

2. Теперь упростим:

   $e^{x} + \frac{2}{x^{3}}$

---

Ответ:

$e^{x} + \frac{2}{x^{3}}$

Первая производная

/     -x\      / -x      -x\   
|    E  |  x   |e     2*e  |  x
|1 - ---|*e  + |--- + -----|*e 
|      2|      |  2      3 |   
\     x /      \ x      x  /   

$$\left(1 - \frac{e^{- x}}{x^{2}}\right) e^{x} + \left(\frac{e^{- x}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}} e^{- x}\right) e^{x}$$

Упростить

Вторая производная

                   4   6             
               1 + - + --     /    2\
/     -x\          x    2   2*|1 + -|
|    e  |  x           x      \    x/
|1 - ---|*e  - ---------- + ---------
|      2|           2            2   
\     x /          x            x    

$$\left(1 - \frac{e^{- x}}{x^{2}}\right) e^{x} + \frac{1}{x^{2}} \left(2 + \frac{4}{x}\right) - \frac{1}{x^{2}} \left(1 + \frac{4}{x} + \frac{6}{x^{2}}\right)$$

Упростить

Третья производная

    6   18   24                    /    4   6 \            
1 + - + -- + --                  3*|1 + - + --|     /    2\
    x    2    3   /     -x\        |    x    2|   3*|1 + -|
        x    x    |    e  |  x     \        x /     \    x/
--------------- + |1 - ---|*e  - -------------- + ---------
        2         |      2|             2              2   
       x          \     x /            x              x    

$$\left(1 - \frac{e^{- x}}{x^{2}}\right) e^{x} + \frac{1}{x^{2}} \left(3 + \frac{6}{x}\right) - \frac{1}{x^{2}} \left(3 + \frac{12}{x} + \frac{18}{x^{2}}\right) + \frac{1}{x^{2}} \left(1 + \frac{6}{x} + \frac{18}{x^{2}} + \frac{24}{x^{3}}\right)$$

Упростить