Производная 2*sqrt(x)-4*cos(x)+2*sin( ... x)+(log(3)/log(x))-log(5)

Вы ввели

    ___                         log(3)         
2*\/ x  - 4*cos(x) + 2*sin(x) + ------ - log(5)
                                log(x)         

$$2 \sqrt{x} - 4 \cos{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )} + \frac{\log{\left (3 \right )}}{\log{\left (x \right )}} - \log{\left (5 \right )}$$

Подробное решение

1. дифференцируем $2 \sqrt{x} - 4 \cos{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )} + \frac{\log{\left (3 \right )}}{\log{\left (x \right )}} - \log{\left (5 \right )}$ почленно:

   1. дифференцируем $2 \sqrt{x} - 4 \cos{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )} + \frac{\log{\left (3 \right )}}{\log{\left (x \right )}}$ почленно:

      1. дифференцируем $2 \sqrt{x} - 4 \cos{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )}$ почленно:

         1. дифференцируем $2 \sqrt{x} - 4 \cos{\left (x \right )}$ почленно:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

               Таким образом, в результате: $\frac{1}{\sqrt{x}}$

            2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                  1. Производная косинус есть минус синус:

                     $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

                  Таким образом, в результате: $- 4 \sin{\left (x \right )}$

               Таким образом, в результате: $4 \sin{\left (x \right )}$

            В результате: $4 \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. Производная синуса есть косинус:

               $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

            Таким образом, в результате: $2 \cos{\left (x \right )}$

         В результате: $4 \sin{\left (x \right )} + 2 \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Заменим $u = \log{\left (x \right )}$.

         2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (x \right )}$:

            1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

            В результате последовательности правил:

            $- \frac{1}{x \log^{2}{\left (x \right )}}$

         Таким образом, в результате: $- \frac{\log{\left (3 \right )}}{x \log^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате: $4 \sin{\left (x \right )} + 2 \cos{\left (x \right )} - \frac{\log{\left (3 \right )}}{x \log^{2}{\left (x \right )}} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

   2. Производная постоянной $- \log{\left (5 \right )}$ равна нулю.

   В результате: $4 \sin{\left (x \right )} + 2 \cos{\left (x \right )} - \frac{\log{\left (3 \right )}}{x \log^{2}{\left (x \right )}} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

---

Ответ:

$4 \sin{\left (x \right )} + 2 \cos{\left (x \right )} - \frac{\log{\left (3 \right )}}{x \log^{2}{\left (x \right )}} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

Первая производная

  1                             log(3) 
----- + 2*cos(x) + 4*sin(x) - ---------
  ___                              2   
\/ x                          x*log (x)

$$4 \sin{\left (x \right )} + 2 \cos{\left (x \right )} - \frac{\log{\left (3 \right )}}{x \log^{2}{\left (x \right )}} + \frac{1}{\sqrt{x}}$$

Вторая производная

                         1        log(3)      2*log(3) 
-2*sin(x) + 4*cos(x) - ------ + ---------- + ----------
                          3/2    2    2       2    3   
                       2*x      x *log (x)   x *log (x)

$$- 2 \sin{\left (x \right )} + 4 \cos{\left (x \right )} + \frac{\log{\left (3 \right )}}{x^{2} \log^{2}{\left (x \right )}} + \frac{2 \log{\left (3 \right )}}{x^{2} \log^{3}{\left (x \right )}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$$

Третья производная

                         3       6*log(3)     6*log(3)     2*log(3) 
-4*sin(x) - 2*cos(x) + ------ - ---------- - ---------- - ----------
                          5/2    3    4       3    3       3    2   
                       4*x      x *log (x)   x *log (x)   x *log (x)

$$- 4 \sin{\left (x \right )} - 2 \cos{\left (x \right )} - \frac{2 \log{\left (3 \right )}}{x^{3} \log^{2}{\left (x \right )}} - \frac{6 \log{\left (3 \right )}}{x^{3} \log^{3}{\left (x \right )}} - \frac{6 \log{\left (3 \right )}}{x^{3} \log^{4}{\left (x \right )}} + \frac{3}{4 x^{\frac{5}{2}}}$$