Производная 3*sqrt(x)^(1/3)*(x+1)

Вы ввели

     _______        
  3 /   ___         
3*\/  \/ x  *(x + 1)

$$\left(x + 1\right) 3 \sqrt[3]{\sqrt{x}}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = 3 \sqrt[3]{\sqrt{x}}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = \sqrt{x}$.

      2. В силу правила, применим: $\sqrt[3]{u}$ получим $\frac{1}{3 u^{\frac{2}{3}}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt{x}$:

         1. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{1}{6 x^{\frac{5}{6}}}$

      Таким образом, в результате: $\frac{1}{2 x^{\frac{5}{6}}}$

   $g{\left (x \right )} = x + 1$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      В результате: $1$

   В результате: $3 \sqrt[6]{x} + \frac{x + 1}{2 x^{\frac{5}{6}}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{7 x + 1}{2 x^{\frac{5}{6}}}$

---

Ответ:

$\frac{7 x + 1}{2 x^{\frac{5}{6}}}$

Первая производная

  6 ___   x + 1 
3*\/ x  + ------
             5/6
          2*x   

$$3 \sqrt[6]{x} + \frac{x + 1}{2 x^{\frac{5}{6}}}$$

Вторая производная

    5*(1 + x)
1 - ---------
       12*x  
-------------
      5/6    
     x       

$$\frac{1}{x^{\frac{5}{6}}} \left(1 - \frac{5 x + 5}{12 x}\right)$$

Третья производная

  /      11*(1 + x)\
5*|-18 + ----------|
  \          x     /
--------------------
          11/6      
      72*x          

$$\frac{1}{72 x^{\frac{11}{6}}} \left(-90 + \frac{1}{x} \left(55 x + 55\right)\right)$$