Производная (3*x^2+2*x-1)/(2*x+1)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

   2          
3*x  + 2*x - 1
--------------
   2*x + 1    

$$\frac{3 x^{2} + 2 x - 1}{2 x + 1}$$

Подробное решение

[TeX]

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = 3 x^{2} + 2 x - 1$ и $g{\left (x \right )} = 2 x + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $3 x^{2} + 2 x - 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $2$

      3. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         Таким образом, в результате: $6 x$

      В результате: $6 x + 2$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $2 x + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $2$

      В результате: $2$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(2 x + 1\right)^{2}} \left(- 6 x^{2} - 4 x + \left(2 x + 1\right) \left(6 x + 2\right) + 2\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{6 x^{2} + 6 x + 4}{4 x^{2} + 4 x + 1}$

---

Ответ:

$\frac{6 x^{2} + 6 x + 4}{4 x^{2} + 4 x + 1}$

Первая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

            /   2          \
2 + 6*x   2*\3*x  + 2*x - 1/
------- - ------------------
2*x + 1                2    
              (2*x + 1)     

$$\frac{6 x + 2}{2 x + 1} - \frac{2 \left(3 x^{2} + 2 x\right) - 2}{\left(2 x + 1\right)^{2}}$$

Упростить

Вторая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

  /                    /              2\\
  |    4*(1 + 3*x)   4*\-1 + 2*x + 3*x /|
2*|3 - ----------- + -------------------|
  |      1 + 2*x                   2    |
  \                       (1 + 2*x)     /
-----------------------------------------
                 1 + 2*x                 

$$\frac{1}{2 x + 1} \left(6 - \frac{24 x + 8}{2 x + 1} + \frac{24 x^{2} + 16 x - 8}{\left(2 x + 1\right)^{2}}\right)$$

Упростить

Третья производная

[TeX]

[pretty]

[text]

   /       /              2\              \
   |     4*\-1 + 2*x + 3*x /   4*(1 + 3*x)|
12*|-3 - ------------------- + -----------|
   |                   2         1 + 2*x  |
   \          (1 + 2*x)                   /
-------------------------------------------
                          2                
                 (1 + 2*x)                 

$$\frac{1}{\left(2 x + 1\right)^{2}} \left(-36 + \frac{144 x + 48}{2 x + 1} - \frac{144 x^{2} + 96 x - 48}{\left(2 x + 1\right)^{2}}\right)$$

Упростить