Производная -1/2*log((x+1)/x)^2

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

    2/x + 1\ 
-log |-----| 
     \  x  / 
-------------
      2      

$$- \frac{1}{2} \log^{2}{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )}$$

Подробное решение

[TeX]

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = \log{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )}$:

      1. Заменим $u = \frac{1}{x} \left(x + 1\right)$.

      2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right)$:

         1. Применим правило производной частного:

            $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

            $f{\left (x \right )} = x + 1$ и $g{\left (x \right )} = x$.

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

            1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

               1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

               2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               В результате: $1$

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Теперь применим правило производной деления:

            $- \frac{1}{x^{2}}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{1}{x \left(x + 1\right)}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{2 \log{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )}}{x \left(x + 1\right)}$

   Таким образом, в результате: $\frac{\log{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )}}{x \left(x + 1\right)}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{\log{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )}}{x \left(x + 1\right)}$

---

Ответ:

$\frac{\log{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )}}{x \left(x + 1\right)}$

Первая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

   /1   x + 1\    /x + 1\ 
-x*|- - -----|*log|-----| 
   |x      2 |    \  x  / 
   \      x  /            
--------------------------
          x + 1           

$$- \frac{x}{x + 1} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} \left(x + 1\right)\right) \log{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )}$$

Упростить

Вторая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

            /   /1 + x\      /1 + x\       1 + x\
            |log|-----|   log|-----|   1 - -----|
/    1 + x\ |   \  x  /      \  x  /         x  |
|1 - -----|*|---------- + ---------- - ---------|
\      x  / \    x          1 + x        1 + x  /
-------------------------------------------------
                      1 + x                      

$$\frac{1}{x + 1} \left(1 - \frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right) \left(- \frac{1 - \frac{1}{x} \left(x + 1\right)}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} \log{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )} + \frac{1}{x} \log{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )}\right)$$

Упростить

Третья производная

[TeX]

[pretty]

[text]

            /       /1 + x\        /1 + x\     /    1 + x\        /1 + x\     /    1 + x\\
            |  2*log|-----|   2*log|-----|   3*|1 - -----|   2*log|-----|   3*|1 - -----||
/    1 + x\ |       \  x  /        \  x  /     \      x  /        \  x  /     \      x  /|
|1 - -----|*|- ------------ - ------------ + ------------- - ------------ + -------------|
\      x  / |        2                 2               2      x*(1 + x)       x*(1 + x)  |
            \       x           (1 + x)         (1 + x)                                  /
------------------------------------------------------------------------------------------
                                          1 + x                                           

$$\frac{1}{x + 1} \left(1 - \frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right) \left(\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} \left(3 - \frac{1}{x} \left(3 x + 3\right)\right) - \frac{2}{\left(x + 1\right)^{2}} \log{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )} + \frac{3 - \frac{1}{x} \left(3 x + 3\right)}{x \left(x + 1\right)} - \frac{2 \log{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )}}{x \left(x + 1\right)} - \frac{2}{x^{2}} \log{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )}\right)$$

Упростить