Производная -1/2*log((x+1)/x)^2

()'

↑ Функция f () ? - производная -го порядка

Решение

Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
    2/x + 1\ 
-log |-----| 
     \  x  / 
-------------
      2      
$$- \frac{1}{2} \log^{2}{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )}$$
Подробное решение
[TeX]
  1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

    1. Заменим .

    2. В силу правила, применим: получим

    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

      1. Заменим .

      2. Производная является .

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

        1. Применим правило производной частного:

          и .

          Чтобы найти :

          1. дифференцируем почленно:

            1. Производная постоянной равна нулю.

            2. В силу правила, применим: получим

            В результате:

          Чтобы найти :

          1. В силу правила, применим: получим

          Теперь применим правило производной деления:

        В результате последовательности правил:

      В результате последовательности правил:

    Таким образом, в результате:

  2. Теперь упростим:


Ответ:

График
Первая производная
[TeX]
[pretty]
[text]
   /1   x + 1\    /x + 1\ 
-x*|- - -----|*log|-----| 
   |x      2 |    \  x  / 
   \      x  /            
--------------------------
          x + 1           
$$- \frac{x}{x + 1} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} \left(x + 1\right)\right) \log{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )}$$
Вторая производная
[TeX]
[pretty]
[text]
            /   /1 + x\      /1 + x\       1 + x\
            |log|-----|   log|-----|   1 - -----|
/    1 + x\ |   \  x  /      \  x  /         x  |
|1 - -----|*|---------- + ---------- - ---------|
\      x  / \    x          1 + x        1 + x  /
-------------------------------------------------
                      1 + x                      
$$\frac{1}{x + 1} \left(1 - \frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right) \left(- \frac{1 - \frac{1}{x} \left(x + 1\right)}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} \log{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )} + \frac{1}{x} \log{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )}\right)$$
Третья производная
[TeX]
[pretty]
[text]
            /       /1 + x\        /1 + x\     /    1 + x\        /1 + x\     /    1 + x\\
            |  2*log|-----|   2*log|-----|   3*|1 - -----|   2*log|-----|   3*|1 - -----||
/    1 + x\ |       \  x  /        \  x  /     \      x  /        \  x  /     \      x  /|
|1 - -----|*|- ------------ - ------------ + ------------- - ------------ + -------------|
\      x  / |        2                 2               2      x*(1 + x)       x*(1 + x)  |
            \       x           (1 + x)         (1 + x)                                  /
------------------------------------------------------------------------------------------
                                          1 + x                                           
$$\frac{1}{x + 1} \left(1 - \frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right) \left(\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} \left(3 - \frac{1}{x} \left(3 x + 3\right)\right) - \frac{2}{\left(x + 1\right)^{2}} \log{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )} + \frac{3 - \frac{1}{x} \left(3 x + 3\right)}{x \left(x + 1\right)} - \frac{2 \log{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )}}{x \left(x + 1\right)} - \frac{2}{x^{2}} \log{\left (\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \right )}\right)$$