Производная x/(cos(x)+sin(x))

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

()'

– производная -го порядка в точке

График:

от до

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

Решение

Вы ввели [src]
       x       
---------------
cos(x) + sin(x)
xsin(x)+cos(x)\frac{x}{\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}}
Подробное решение
  1. Применим правило производной частного:

    ddx(f(x)g(x))=1g2(x)(f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x))\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)

    f(x)=xf{\left (x \right )} = x и g(x)=sin(x)+cos(x)g{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}.

    Чтобы найти ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}:

    1. В силу правила, применим: xx получим 11

    Чтобы найти ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}:

    1. дифференцируем sin(x)+cos(x)\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} почленно:

      1. Производная косинус есть минус синус:

        ddxcos(x)=sin(x)\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}

      2. Производная синуса есть косинус:

        ddxsin(x)=cos(x)\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}

      В результате: sin(x)+cos(x)- \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}

    Теперь применим правило производной деления:

    1(sin(x)+cos(x))2(x(sin(x)+cos(x))+sin(x)+cos(x))\frac{1}{\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)^{2}} \left(- x \left(- \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right) + \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)

  2. Теперь упростим:

    2sin(2x)+1(xcos(x+π4)+sin(x+π4))\frac{\sqrt{2}}{\sin{\left (2 x \right )} + 1} \left(- x \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )} + \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}\right)


Ответ:

2sin(2x)+1(xcos(x+π4)+sin(x+π4))\frac{\sqrt{2}}{\sin{\left (2 x \right )} + 1} \left(- x \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )} + \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}\right)

График
02468-8-6-4-2-1010-2000020000
Первая производная [src]
       1          x*(-cos(x) + sin(x))
--------------- + --------------------
cos(x) + sin(x)                     2 
                   (cos(x) + sin(x))  
x(sin(x)cos(x))(sin(x)+cos(x))2+1sin(x)+cos(x)\frac{x \left(\sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right)}{\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)^{2}} + \frac{1}{\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}}
Вторая производная [src]
                                                 2
    2*(-cos(x) + sin(x))   2*x*(-cos(x) + sin(x)) 
x + -------------------- + -----------------------
      cos(x) + sin(x)                          2  
                              (cos(x) + sin(x))   
--------------------------------------------------
                 cos(x) + sin(x)                  
1sin(x)+cos(x)(2x(sin(x)cos(x))2(sin(x)+cos(x))2+x+2sin(x)2cos(x)sin(x)+cos(x))\frac{1}{\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}} \left(\frac{2 x \left(\sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right)^{2}}{\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)^{2}} + x + \frac{2 \sin{\left (x \right )} - 2 \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}}\right)
Третья производная [src]
                        2                                                  3
    6*(-cos(x) + sin(x))    5*x*(-cos(x) + sin(x))   6*x*(-cos(x) + sin(x)) 
3 + --------------------- + ---------------------- + -----------------------
                       2       cos(x) + sin(x)                           3  
      (cos(x) + sin(x))                                 (cos(x) + sin(x))   
----------------------------------------------------------------------------
                              cos(x) + sin(x)                               
1sin(x)+cos(x)(6x(sin(x)cos(x))3(sin(x)+cos(x))3+5x(sin(x)cos(x))sin(x)+cos(x)+6(sin(x)cos(x))2(sin(x)+cos(x))2+3)\frac{1}{\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}} \left(\frac{6 x \left(\sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right)^{3}}{\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)^{3}} + \frac{5 x \left(\sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right)}{\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}} + \frac{6 \left(\sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right)^{2}}{\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)^{2}} + 3\right)