Производная (x^4-9*x^2)/(x^2-3)^2

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

 4      2
x  - 9*x 
---------
        2
/ 2    \ 
\x  - 3/ 

$$\frac{x^{4} - 9 x^{2}}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}}$$

Подробное решение

[TeX]

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x^{4} - 9 x^{2}$ и $g{\left (x \right )} = \left(x^{2} - 3\right)^{2}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x^{4} - 9 x^{2}$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x^{4}$ получим $4 x^{3}$

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         Таким образом, в результате: $- 18 x$

      В результате: $4 x^{3} - 18 x$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = x^{2} - 3$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x^{2} - 3\right)$:

      1. дифференцируем $x^{2} - 3$ почленно:

         1. Производная постоянной $-3$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         В результате: $2 x$

      В результате последовательности правил:

      $2 x \left(2 x^{2} - 6\right)$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(x^{2} - 3\right)^{4}} \left(- 2 x \left(2 x^{2} - 6\right) \left(x^{4} - 9 x^{2}\right) + \left(x^{2} - 3\right)^{2} \left(4 x^{3} - 18 x\right)\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{6 x \left(x^{2} + 9\right)}{x^{6} - 9 x^{4} + 27 x^{2} - 27}$

---

Ответ:

$\frac{6 x \left(x^{2} + 9\right)}{x^{6} - 9 x^{4} + 27 x^{2} - 27}$

Первая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

           3       / 4      2\
-18*x + 4*x    4*x*\x  - 9*x /
------------ - ---------------
         2                3   
 / 2    \         / 2    \    
 \x  - 3/         \x  - 3/    

$$- \frac{4 x \left(x^{4} - 9 x^{2}\right)}{\left(x^{2} - 3\right)^{3}} + \frac{4 x^{3} - 18 x}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}}$$

Упростить

Вторая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

  /               2 /        2\      2 /      2\       4 /      2\\
  |        2   8*x *\-9 + 2*x /   2*x *\-9 + x /   12*x *\-9 + x /|
2*|-9 + 6*x  - ---------------- - -------------- + ---------------|
  |                      2                 2                   2  |
  |                -3 + x            -3 + x           /      2\   |
  \                                                   \-3 + x /   /
-------------------------------------------------------------------
                                      2                            
                             /      2\                             
                             \-3 + x /                             

$$\frac{1}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}} \left(\frac{24 x^{4} \left(x^{2} - 9\right)}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}} - \frac{4 x^{2} \left(x^{2} - 9\right)}{x^{2} - 3} + 12 x^{2} - \frac{16 x^{2} \left(2 x^{2} - 9\right)}{x^{2} - 3} - 18\right)$$

Упростить

Третья производная

[TeX]

[pretty]

[text]

     /            2     /        2\      4 /      2\      2 /      2\      2 /        2\\
     |    -9 + 2*x    3*\-3 + 2*x /   8*x *\-9 + x /   3*x *\-9 + x /   6*x *\-9 + 2*x /|
24*x*|1 - --------- - ------------- - -------------- + -------------- + ----------------|
     |           2             2                 3                2                 2   |
     |     -3 + x        -3 + x         /      2\        /      2\         /      2\    |
     \                                  \-3 + x /        \-3 + x /         \-3 + x /    /
-----------------------------------------------------------------------------------------
                                                 2                                       
                                        /      2\                                        
                                        \-3 + x /                                        

$$\frac{24 x}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}} \left(- \frac{8 x^{4} \left(x^{2} - 9\right)}{\left(x^{2} - 3\right)^{3}} + \frac{3 x^{2} \left(x^{2} - 9\right)}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}} + \frac{6 x^{2} \left(2 x^{2} - 9\right)}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}} + 1 - \frac{2 x^{2} - 9}{x^{2} - 3} - \frac{6 x^{2} - 9}{x^{2} - 3}\right)$$

Упростить