Производная (3*cos(x)+1)/sin(x)

Вы ввели

3*cos(x) + 1
------------
   sin(x)   

$$\frac{3 \cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}}$$

d /3*cos(x) + 1\
--|------------|
dx\   sin(x)   /

$$\frac{d}{d x} \frac{3 \cos{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 3 \cos{\left(x \right)} + 1$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $3 \cos{\left(x \right)} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Таким образом, в результате: $- 3 \sin{\left(x \right)}$

      В результате: $- 3 \sin{\left(x \right)}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{- \left(3 \cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} - 3 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{\cos{\left(x \right)} + 3}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$- \frac{\cos{\left(x \right)} + 3}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

Первая производная

     (3*cos(x) + 1)*cos(x)
-3 - ---------------------
               2          
            sin (x)       

$$- \frac{\left(3 \cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - 3$$

Вторая производная

                          /         2   \
                          |    2*cos (x)|
3*cos(x) + (1 + 3*cos(x))*|1 + ---------|
                          |        2    |
                          \     sin (x) /
-----------------------------------------
                  sin(x)                 

$$\frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \left(3 \cos{\left(x \right)} + 1\right) + 3 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$

Третья производная

 /                               /         2   \       \
 |                               |    6*cos (x)|       |
 |                (1 + 3*cos(x))*|5 + ---------|*cos(x)|
 |         2                     |        2    |       |
 |    9*cos (x)                  \     sin (x) /       |
-|6 + --------- + -------------------------------------|
 |        2                         2                  |
 \     sin (x)                   sin (x)               /

$$- (\frac{\left(5 + \frac{6 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \left(3 \cos{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + 6 + \frac{9 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}})$$

График