Производная (3*cos(x)+1)/sin(x)

3*cos(x) + 1
------------
   sin(x)   

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = 3 \cos{\left (x \right )} + 1$ и $g{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $3 \cos{\left (x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

         Таким образом, в результате: $- 3 \sin{\left (x \right )}$

      В результате: $- 3 \sin{\left (x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(- \left(3 \cos{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (x \right )} - 3 \sin^{2}{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{\cos{\left (x \right )} + 3}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

Ответ:

$- \frac{\cos{\left (x \right )} + 3}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

     (3*cos(x) + 1)*cos(x)
-3 - ---------------------
               2          
            sin (x)       

                    2                  
               2*cos (x)*(1 + 3*cos(x))
1 + 6*cos(x) + ------------------------
                          2            
                       sin (x)         
---------------------------------------
                 sin(x)                

 /         2                                     3                  \
 |    9*cos (x)   5*(1 + 3*cos(x))*cos(x)   6*cos (x)*(1 + 3*cos(x))|
-|6 + --------- + ----------------------- + ------------------------|
 |        2                  2                         4            |
 \     sin (x)            sin (x)                   sin (x)         /