Производная 1/2*cbrt(x^2)*cos(x)

Вы ввели

   ____       
3 /  2        
\/  x         
-------*cos(x)
   2          

$$\frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{2} \cos{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \sqrt[3]{x^{2}} \cos{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = 2$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

      $f{\left (x \right )} = \sqrt[3]{x^{2}}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. Заменим $u = x^{2}$.

      2. В силу правила, применим: $\sqrt[3]{u}$ получим $\frac{1}{3 u^{\frac{2}{3}}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} x^{2}$:

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{2 x}{3 \left(x^{2}\right)^{\frac{2}{3}}}$

      $g{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      В результате: $\frac{2 x}{3 \left(x^{2}\right)^{\frac{2}{3}}} \cos{\left (x \right )} - \sqrt[3]{x^{2}} \sin{\left (x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная постоянной $2$ равна нулю.

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{x}{3 \left(x^{2}\right)^{\frac{2}{3}}} \cos{\left (x \right )} - \frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{2} \sin{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x}{6 \left(x^{2}\right)^{\frac{2}{3}}} \left(- 3 x \sin{\left (x \right )} + 2 \cos{\left (x \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{x}{6 \left(x^{2}\right)^{\frac{2}{3}}} \left(- 3 x \sin{\left (x \right )} + 2 \cos{\left (x \right )}\right)$

Первая производная

     ____             ____       
  3 /  2           3 /  2        
  \/  x  *sin(x)   \/  x  *cos(x)
- -------------- + --------------
        2               3*x      

$$- \frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{2} \sin{\left (x \right )} + \frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{3 x} \cos{\left (x \right )}$$

Вторая производная

    ____                                   
 3 /  2  /           2*cos(x)   12*sin(x)\ 
-\/  x  *|9*cos(x) + -------- + ---------| 
         |               2          x    | 
         \              x                / 
-------------------------------------------
                     18                    

$$- \frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{18} \left(9 \cos{\left (x \right )} + \frac{12}{x} \sin{\left (x \right )} + \frac{2}{x^{2}} \cos{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

   ____                                      
3 /  2  /sin(x)   cos(x)   sin(x)   4*cos(x)\
\/  x  *|------ - ------ + ------ + --------|
        |  2        x          2         3  |
        \                   3*x      27*x   /

$$\left(\frac{1}{2} \sin{\left (x \right )} - \frac{1}{x} \cos{\left (x \right )} + \frac{\sin{\left (x \right )}}{3 x^{2}} + \frac{4}{27 x^{3}} \cos{\left (x \right )}\right) \sqrt[3]{x^{2}}$$