Производная k*(1+(o/(o-t))*exp(-(x/o))-(t/(o-t))*exp(-(x/t)))

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

  /             x            x\
  |           - -          - -|
  |      o      o     t      t|
k*|1 + -----*e    - -----*e   |
  \    o - t        o - t     /

$$k \left(- \frac{t e^{- \frac{x}{t}}}{o - t} + \frac{o}{o - t} e^{- \frac{x}{o}} + 1\right)$$

Подробное решение

[TeX]

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. дифференцируем $- \frac{t e^{- \frac{x}{t}}}{o - t} + \frac{o}{o - t} e^{- \frac{x}{o}} + 1$ почленно:

      1. дифференцируем $\frac{o}{o - t} e^{- \frac{x}{o}} + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. Заменим $u = - \frac{x}{o}$.

            2. Производная $e^{u}$ само оно.

            3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial x}\left(- \frac{x}{o}\right)$:

               1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                  1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                     1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                     Таким образом, в результате: $\frac{1}{o}$

                  Таким образом, в результате: $- \frac{1}{o}$

               В результате последовательности правил:

               $- \frac{e^{- \frac{x}{o}}}{o}$

            Таким образом, в результате: $- \frac{e^{- \frac{x}{o}}}{o - t}$

         В результате: $- \frac{e^{- \frac{x}{o}}}{o - t}$

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. Заменим $u = - \frac{x}{t}$.

            2. Производная $e^{u}$ само оно.

            3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial x}\left(- \frac{x}{t}\right)$:

               1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                  1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                     1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                     Таким образом, в результате: $\frac{1}{t}$

                  Таким образом, в результате: $- \frac{1}{t}$

               В результате последовательности правил:

               $- \frac{e^{- \frac{x}{t}}}{t}$

            Таким образом, в результате: $- \frac{e^{- \frac{x}{t}}}{o - t}$

         Таким образом, в результате: $\frac{e^{- \frac{x}{t}}}{o - t}$

      В результате: $\frac{e^{- \frac{x}{t}}}{o - t} - \frac{e^{- \frac{x}{o}}}{o - t}$

   Таким образом, в результате: $k \left(\frac{e^{- \frac{x}{t}}}{o - t} - \frac{e^{- \frac{x}{o}}}{o - t}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{k e^{- \frac{x}{t}}}{o - t} - \frac{k e^{- \frac{x}{o}}}{o - t}$

---

Ответ:

$\frac{k e^{- \frac{x}{t}}}{o - t} - \frac{k e^{- \frac{x}{o}}}{o - t}$

Первая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

  /  -x      -x \
  |  ---     ---|
  |   t       o |
  | e       e   |
k*|----- - -----|
  \o - t   o - t/

$$k \left(\frac{e^{- \frac{x}{t}}}{o - t} - \frac{e^{- \frac{x}{o}}}{o - t}\right)$$

Упростить

Вторая производная

[TeX]

[pretty]

[text]

   / -x     -x \ 
   | ---    ---| 
   |  t      o | 
   |e      e   | 
-k*|---- - ----| 
   \ t      o  / 
-----------------
      o - t      

$$- \frac{k \left(\frac{e^{- \frac{x}{t}}}{t} - \frac{e^{- \frac{x}{o}}}{o}\right)}{o - t}$$

Упростить

Третья производная

[TeX]

[pretty]

[text]

  / -x     -x \
  | ---    ---|
  |  t      o |
  |e      e   |
k*|---- - ----|
  |  2      2 |
  \ t      o  /
---------------
     o - t     

$$\frac{k \left(\frac{e^{- \frac{x}{t}}}{t^{2}} - \frac{e^{- \frac{x}{o}}}{o^{2}}\right)}{o - t}$$

Упростить