Производная (((sin(31*x)^(2)))/(31*cos(62*x)))

Вы ввели

    2       
 sin (31*x) 
------------
31*cos(62*x)

$$\frac{\sin^{2}{\left (31 x \right )}}{31 \cos{\left (62 x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \sin^{2}{\left (31 x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = 31 \cos{\left (62 x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left (31 x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (31 x \right )}$:

      1. Заменим $u = 31 x$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(31 x\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $31$

         В результате последовательности правил:

         $31 \cos{\left (31 x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $62 \sin{\left (31 x \right )} \cos{\left (31 x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = 62 x$.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(62 x\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $62$

         В результате последовательности правил:

         $- 62 \sin{\left (62 x \right )}$

      Таким образом, в результате: $- 1922 \sin{\left (62 x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{961 \cos^{2}{\left (62 x \right )}} \left(1922 \sin^{2}{\left (31 x \right )} \sin{\left (62 x \right )} + 1922 \sin{\left (31 x \right )} \cos{\left (31 x \right )} \cos{\left (62 x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2 \sin{\left (62 x \right )}}{\cos{\left (124 x \right )} + 1}$

---

Ответ:

$\frac{2 \sin{\left (62 x \right )}}{\cos{\left (124 x \right )} + 1}$

Первая производная

     2                                                      
2*sin (31*x)*sin(62*x)           1                          
---------------------- + 62*------------*cos(31*x)*sin(31*x)
         2                  31*cos(62*x)                    
      cos (62*x)                                            

$$\frac{2 \sin^{2}{\left (31 x \right )}}{\cos^{2}{\left (62 x \right )}} \sin{\left (62 x \right )} + 62 \sin{\left (31 x \right )} \cos{\left (31 x \right )} \frac{1}{31 \cos{\left (62 x \right )}}$$

Упростить

Вторая производная

   /                               2          2                                        \
   |   2            2         4*sin (31*x)*sin (62*x)   4*cos(31*x)*sin(31*x)*sin(62*x)|
62*|cos (31*x) + sin (31*x) + ----------------------- + -------------------------------|
   |                                    2                          cos(62*x)           |
   \                                 cos (62*x)                                        /
----------------------------------------------------------------------------------------
                                       cos(62*x)                                        

$$\frac{1}{\cos{\left (62 x \right )}} \left(\frac{248 \sin^{2}{\left (31 x \right )}}{\cos^{2}{\left (62 x \right )}} \sin^{2}{\left (62 x \right )} + 62 \sin^{2}{\left (31 x \right )} + \frac{248 \cos{\left (31 x \right )}}{\cos{\left (62 x \right )}} \sin{\left (31 x \right )} \sin{\left (62 x \right )} + 62 \cos^{2}{\left (31 x \right )}\right)$$

Упростить

Третья производная

     /                             2                        2                         2          3               2                          \
     |                        3*cos (31*x)*sin(62*x)   7*sin (31*x)*sin(62*x)   12*sin (31*x)*sin (62*x)   12*sin (62*x)*cos(31*x)*sin(31*x)|
3844*|4*cos(31*x)*sin(31*x) + ---------------------- + ---------------------- + ------------------------ + ---------------------------------|
     |                              cos(62*x)                cos(62*x)                    3                               2                 |
     \                                                                                 cos (62*x)                      cos (62*x)           /
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                  cos(62*x)                                                                  

$$\frac{1}{\cos{\left (62 x \right )}} \left(\frac{46128 \sin^{2}{\left (31 x \right )}}{\cos^{3}{\left (62 x \right )}} \sin^{3}{\left (62 x \right )} + \frac{26908 \sin^{2}{\left (31 x \right )}}{\cos{\left (62 x \right )}} \sin{\left (62 x \right )} + \frac{46128 \sin^{2}{\left (62 x \right )}}{\cos^{2}{\left (62 x \right )}} \sin{\left (31 x \right )} \cos{\left (31 x \right )} + 15376 \sin{\left (31 x \right )} \cos{\left (31 x \right )} + \frac{11532 \cos^{2}{\left (31 x \right )}}{\cos{\left (62 x \right )}} \sin{\left (62 x \right )}\right)$$

Упростить