Производная (((sin(31*x)^(2)))/(31*cos(62*x)))

Вы ввели

    2       
 sin (31*x) 
------------
31*cos(62*x)

$$\frac{\sin^{2}{\left(31 x \right)}}{31 \cos{\left(62 x \right)}}$$

  /    2       \
d | sin (31*x) |
--|------------|
dx\31*cos(62*x)/

$$\frac{d}{d x} \frac{\sin^{2}{\left(31 x \right)}}{31 \cos{\left(62 x \right)}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(31 x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = 31 \cos{\left(62 x \right)}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left(31 x \right)}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(31 x \right)}$:

      1. Заменим $u = 31 x$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 31 x$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $31$

         В результате последовательности правил:

         $31 \cos{\left(31 x \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $62 \sin{\left(31 x \right)} \cos{\left(31 x \right)}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = 62 x$.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 62 x$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $62$

         В результате последовательности правил:

         $- 62 \sin{\left(62 x \right)}$

      Таким образом, в результате: $- 1922 \sin{\left(62 x \right)}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1922 \sin^{2}{\left(31 x \right)} \sin{\left(62 x \right)} + 1922 \sin{\left(31 x \right)} \cos{\left(31 x \right)} \cos{\left(62 x \right)}}{961 \cos^{2}{\left(62 x \right)}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2 \sin{\left(62 x \right)}}{\cos{\left(124 x \right)} + 1}$

---

Ответ:

$\frac{2 \sin{\left(62 x \right)}}{\cos{\left(124 x \right)} + 1}$

Первая производная

     2                                                      
2*sin (31*x)*sin(62*x)           1                          
---------------------- + 62*------------*cos(31*x)*sin(31*x)
         2                  31*cos(62*x)                    
      cos (62*x)                                            

$$\frac{2 \sin^{2}{\left(31 x \right)} \sin{\left(62 x \right)}}{\cos^{2}{\left(62 x \right)}} + 62 \sin{\left(31 x \right)} \cos{\left(31 x \right)} \frac{1}{31 \cos{\left(62 x \right)}}$$

Вторая производная

   /                                       /         2      \                                  \
   |   2            2              2       |    2*sin (62*x)|   4*cos(31*x)*sin(31*x)*sin(62*x)|
62*|cos (31*x) - sin (31*x) + 2*sin (31*x)*|1 + ------------| + -------------------------------|
   |                                       |        2       |              cos(62*x)           |
   \                                       \     cos (62*x) /                                  /
------------------------------------------------------------------------------------------------
                                           cos(62*x)                                            

$$\frac{62 \cdot \left(2 \cdot \left(\frac{2 \sin^{2}{\left(62 x \right)}}{\cos^{2}{\left(62 x \right)}} + 1\right) \sin^{2}{\left(31 x \right)} - \sin^{2}{\left(31 x \right)} + \frac{4 \sin{\left(31 x \right)} \sin{\left(62 x \right)} \cos{\left(31 x \right)}}{\cos{\left(62 x \right)}} + \cos^{2}{\left(31 x \right)}\right)}{\cos{\left(62 x \right)}}$$

Третья производная

     /                                                                                                                         /         2      \          \
     |                                                                                                                 2       |    6*sin (62*x)|          |
     |                                                                                                            2*sin (31*x)*|5 + ------------|*sin(62*x)|
     |                           /   2            2      \               /         2      \                                    |        2       |          |
     |                         3*\sin (31*x) - cos (31*x)/*sin(62*x)     |    2*sin (62*x)|                                    \     cos (62*x) /          |
3844*|-2*cos(31*x)*sin(31*x) - ------------------------------------- + 6*|1 + ------------|*cos(31*x)*sin(31*x) + -----------------------------------------|
     |                                       cos(62*x)                   |        2       |                                       cos(62*x)                |
     \                                                                   \     cos (62*x) /                                                                /
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                         cos(62*x)                                                                          

$$\frac{3844 \cdot \left(6 \cdot \left(\frac{2 \sin^{2}{\left(62 x \right)}}{\cos^{2}{\left(62 x \right)}} + 1\right) \sin{\left(31 x \right)} \cos{\left(31 x \right)} + \frac{2 \cdot \left(\frac{6 \sin^{2}{\left(62 x \right)}}{\cos^{2}{\left(62 x \right)}} + 5\right) \sin^{2}{\left(31 x \right)} \sin{\left(62 x \right)}}{\cos{\left(62 x \right)}} - \frac{3 \left(\sin^{2}{\left(31 x \right)} - \cos^{2}{\left(31 x \right)}\right) \sin{\left(62 x \right)}}{\cos{\left(62 x \right)}} - 2 \sin{\left(31 x \right)} \cos{\left(31 x \right)}\right)}{\cos{\left(62 x \right)}}$$

График