Производная (40*x/sqrt(x^2+16))+32/(x^2+16)

Вы ввели

    40*x          32  
------------ + -------
   _________    2     
  /  2         x  + 16
\/  x  + 16           

$$\frac{40 x}{\sqrt{x^{2} + 16}} + \frac{32}{x^{2} + 16}$$

Подробное решение

1. дифференцируем $\frac{40 x}{\sqrt{x^{2} + 16}} + \frac{32}{x^{2} + 16}$ почленно:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = 40 x$ и $g{\left (x \right )} = \sqrt{x^{2} + 16}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $40$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. Заменим $u = x^{2} + 16$.

      2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x^{2} + 16\right)$:

         1. дифференцируем $x^{2} + 16$ почленно:

            1. Производная постоянной $16$ равна нулю.

            2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

            В результате: $2 x$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 16}}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{1}{x^{2} + 16} \left(- \frac{40 x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 16}} + 40 \sqrt{x^{2} + 16}\right)$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = x^{2} + 16$.

      2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x^{2} + 16\right)$:

         1. дифференцируем $x^{2} + 16$ почленно:

            1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

            2. Производная постоянной $16$ равна нулю.

            В результате: $2 x$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{2 x}{\left(x^{2} + 16\right)^{2}}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{64 x}{\left(x^{2} + 16\right)^{2}}$

   В результате: $- \frac{64 x}{\left(x^{2} + 16\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 16} \left(- \frac{40 x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 16}} + 40 \sqrt{x^{2} + 16}\right)$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{64 x}{\left(x^{2} + 16\right)^{2}} + \frac{640}{\left(x^{2} + 16\right)^{\frac{3}{2}}}$

---

Ответ:

$- \frac{64 x}{\left(x^{2} + 16\right)^{2}} + \frac{640}{\left(x^{2} + 16\right)^{\frac{3}{2}}}$

Первая производная

                                   2    
     40           64*x         40*x     
------------ - ---------- - ------------
   _________            2            3/2
  /  2         / 2     \    / 2     \   
\/  x  + 16    \x  + 16/    \x  + 16/   

$$- \frac{40 x^{2}}{\left(x^{2} + 16\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{64 x}{\left(x^{2} + 16\right)^{2}} + \frac{40}{\sqrt{x^{2} + 16}}$$

Вторая производная

  /                                     3             2   \
  |      8            15*x          15*x          32*x    |
8*|- ---------- - ------------ + ------------ + ----------|
  |           2            3/2            5/2            3|
  |  /      2\    /      2\      /      2\      /      2\ |
  \  \16 + x /    \16 + x /      \16 + x /      \16 + x / /

$$8 \left(\frac{15 x^{3}}{\left(x^{2} + 16\right)^{\frac{5}{2}}} + \frac{32 x^{2}}{\left(x^{2} + 16\right)^{3}} - \frac{15 x}{\left(x^{2} + 16\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{8}{\left(x^{2} + 16\right)^{2}}\right)$$

Третья производная

   /                       3             4              2                 \
   |       5           64*x          25*x           30*x           32*x   |
24*|- ------------ - ---------- - ------------ + ------------ + ----------|
   |           3/2            4            7/2            5/2            3|
   |  /      2\      /      2\    /      2\      /      2\      /      2\ |
   \  \16 + x /      \16 + x /    \16 + x /      \16 + x /      \16 + x / /

$$24 \left(- \frac{25 x^{4}}{\left(x^{2} + 16\right)^{\frac{7}{2}}} - \frac{64 x^{3}}{\left(x^{2} + 16\right)^{4}} + \frac{30 x^{2}}{\left(x^{2} + 16\right)^{\frac{5}{2}}} + \frac{32 x}{\left(x^{2} + 16\right)^{3}} - \frac{5}{\left(x^{2} + 16\right)^{\frac{3}{2}}}\right)$$