Производная (4*sin(x)^(3)-1)^2*tan(x)+(1-x)/(sqrt(x+2))

Вы ввели

               2                   
/     3       \             1 - x  
\4*sin (x) - 1/ *tan(x) + ---------
                            _______
                          \/ x + 2 

$$\frac{- x + 1}{\sqrt{x + 2}} + \left(4 \sin^{3}{\left (x \right )} - 1\right)^{2} \tan{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. дифференцируем $\frac{- x + 1}{\sqrt{x + 2}} + \left(4 \sin^{3}{\left (x \right )} - 1\right)^{2} \tan{\left (x \right )}$ почленно:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

      $f{\left (x \right )} = \left(4 \sin^{3}{\left (x \right )} - 1\right)^{2}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. Заменим $u = 4 \sin^{3}{\left (x \right )} - 1$.

      2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(4 \sin^{3}{\left (x \right )} - 1\right)$:

         1. дифференцируем $4 \sin^{3}{\left (x \right )} - 1$ почленно:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

               2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

               3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

                  1. Производная синуса есть косинус:

                     $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

                  В результате последовательности правил:

                  $3 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

               Таким образом, в результате: $12 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

            2. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

            В результате: $12 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

         В результате последовательности правил:

         $12 \left(8 \sin^{3}{\left (x \right )} - 2\right) \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

      $g{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате: $\frac{\left(4 \sin^{3}{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) + 12 \left(8 \sin^{3}{\left (x \right )} - 2\right) \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )}$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = - x + 1$ и $g{\left (x \right )} = \sqrt{x + 2}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $- x + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $-1$

         В результате: $-1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. Заменим $u = x + 2$.

      2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x + 2\right)$:

         1. дифференцируем $x + 2$ почленно:

            1. Производная постоянной $2$ равна нулю.

            2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            В результате: $1$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{1}{2 \sqrt{x + 2}}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{1}{x + 2} \left(- \frac{- x + 1}{2 \sqrt{x + 2}} - \sqrt{x + 2}\right)$

   В результате: $\frac{\left(4 \sin^{3}{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) + 12 \left(8 \sin^{3}{\left (x \right )} - 2\right) \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )} + \frac{1}{x + 2} \left(- \frac{- x + 1}{2 \sqrt{x + 2}} - \sqrt{x + 2}\right)$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{x}{2 \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{\left(4 \sin^{3}{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + 96 \sin^{6}{\left (x \right )} - 24 \sin^{3}{\left (x \right )} - \frac{5}{2 \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}$

---

Ответ:

$- \frac{x}{2 \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{\left(4 \sin^{3}{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + 96 \sin^{6}{\left (x \right )} - 24 \sin^{3}{\left (x \right )} - \frac{5}{2 \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}$

Первая производная

                             2                                                                        
      1       /     3       \  /       2   \      1 - x             2    /     3       \              
- --------- + \4*sin (x) - 1/ *\1 + tan (x)/ - ------------ + 24*sin (x)*\4*sin (x) - 1/*cos(x)*tan(x)
    _______                                             3/2                                           
  \/ x + 2                                     2*(x + 2)                                              

$$- \frac{- x + 1}{2 \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}} + \left(4 \sin^{3}{\left (x \right )} - 1\right)^{2} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + 24 \left(4 \sin^{3}{\left (x \right )} - 1\right) \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )} - \frac{1}{\sqrt{x + 2}}$$

Вторая производная

                                                                                   2                                                                                                                                                 
    1         3*(-1 + x)          3    /          3   \            /          3   \  /       2   \                 2       4                   2    /          3   \                       2    /       2   \ /          3   \       
---------- - ------------ - 24*sin (x)*\-1 + 4*sin (x)/*tan(x) + 2*\-1 + 4*sin (x)/ *\1 + tan (x)/*tan(x) + 288*cos (x)*sin (x)*tan(x) + 48*cos (x)*\-1 + 4*sin (x)/*sin(x)*tan(x) + 48*sin (x)*\1 + tan (x)/*\-1 + 4*sin (x)/*cos(x)
       3/2            5/2                                                                                                                                                                                                            
(2 + x)      4*(2 + x)                                                                                                                                                                                                               

$$- \frac{3 x - 3}{4 \left(x + 2\right)^{\frac{5}{2}}} + 2 \left(4 \sin^{3}{\left (x \right )} - 1\right)^{2} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} + 48 \left(4 \sin^{3}{\left (x \right )} - 1\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - 24 \left(4 \sin^{3}{\left (x \right )} - 1\right) \sin^{3}{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )} + 48 \left(4 \sin^{3}{\left (x \right )} - 1\right) \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )} + 288 \sin^{4}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )} + \frac{1}{\left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}}}$$

Третья производная

                                2                 2                                                                                                            2                                                                                                                                                                                                                                                                                         
       9           /       2   \  /          3   \    15*(-1 + x)           5                          3    /       2   \ /          3   \     /          3   \     2    /       2   \         3    /          3   \                 2       4    /       2   \           3       3                    2    /          3   \                        2    /       2   \ /          3   \                 2    /       2   \ /          3   \              
- ------------ + 2*\1 + tan (x)/ *\-1 + 4*sin (x)/  + ------------ - 864*sin (x)*cos(x)*tan(x) - 72*sin (x)*\1 + tan (x)/*\-1 + 4*sin (x)/ + 4*\-1 + 4*sin (x)/ *tan (x)*\1 + tan (x)/ + 48*cos (x)*\-1 + 4*sin (x)/*tan(x) + 864*cos (x)*sin (x)*\1 + tan (x)/ + 1728*cos (x)*sin (x)*tan(x) - 168*sin (x)*\-1 + 4*sin (x)/*cos(x)*tan(x) + 144*cos (x)*\1 + tan (x)/*\-1 + 4*sin (x)/*sin(x) + 144*sin (x)*\1 + tan (x)/*\-1 + 4*sin (x)/*cos(x)*tan(x)
           5/2                                                 7/2                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       
  4*(2 + x)                                           8*(2 + x)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          

$$\frac{15 x - 15}{8 \left(x + 2\right)^{\frac{7}{2}}} + 2 \left(4 \sin^{3}{\left (x \right )} - 1\right)^{2} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 4 \left(4 \sin^{3}{\left (x \right )} - 1\right)^{2} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (x \right )} - 72 \left(4 \sin^{3}{\left (x \right )} - 1\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin^{3}{\left (x \right )} + 144 \left(4 \sin^{3}{\left (x \right )} - 1\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )} + 144 \left(4 \sin^{3}{\left (x \right )} - 1\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} - 168 \left(4 \sin^{3}{\left (x \right )} - 1\right) \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )} + 48 \left(4 \sin^{3}{\left (x \right )} - 1\right) \cos^{3}{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )} + 864 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin^{4}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} - 864 \sin^{5}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )} + 1728 \sin^{3}{\left (x \right )} \cos^{3}{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )} - \frac{9}{4 \left(x + 2\right)^{\frac{5}{2}}}$$